Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

Dieselben Gleichuingen gelten aber auch fUr einen auf derselben Mantellinie liegenden Punkt P' (x + dx, y + dy, z + dz); unter Beriicksichtigung von (1) und (2) ergibt sich:
(rdx +sdy)Qvx- x') + (sdx +tdy) (y -y') =O (3)
rind:
Adx + Bdy + C(pdx + qdy) = 0. (4)
Die Elimination von x - x', y - yz - 'au s (1) - (4) ergibt dann
sofort die gesuchte partielle iDifferentialgleichung 2. Ordnung, niinlieh:
(Cq + B)2r - 2 (Cq + B)(Cp + A)s + (Op + A)2t = 0.
Ehe die beiden anderen Gleiehungsformen hergeleitet werden, zeigt
M ong e (Nr. 1 1), wie man in diesem Fall aus der DifferenDtialgleichung
der Flachen die der Charakteristiken linden kanin. Ist nUimlich die
erstere:
4) (x, y, z,~ p, q, r, s, t) = 0,
rind ist:
so heilit die Differentialgleichung der Charakteristiken:
Bdx2 - Sdxdy + [fdy2 == 0.
Sie zeigt, dali in jedem Fliichenpunkt die Charakteristik einen Doppelpunkt hat, anuler in dem Fall, wo, die Differentialgleiehung in zwei rationale Linearfaktoren zerfdllt, wo, also z we i Scharen. von Charakteristiken
auf der Fliche vorhanden sind. In dem vorliegenden Beispiel ergibt
sich als Differentialgleichung der Charakteristiken:
(Adx + Bdy + CdZ)2 -=0,
d. h. emn vollstaindiges Quadrat, so daB man mur eine Schar von
Charakteristiken erhiilt, niimlich eben die Mantellinien der Flijehe.
2. Um die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung zn finden)
welche diesen Fliichen zukommt, geht M on ge wieder aus von den
Gleichungen (1) und (2), die eine Mantellinie der Fliehe darstellen.
Deren Projektion auf eine der Koordinatenebenen, z. B. die xz-Ebene,
sei x'= O3z'+ r*Dann ist, wenn zur Abktirzung
Ax +By +Cz ~ c
gesetzt wird,
eq+B B(_z-px-qy)+aq.
~Bp-Aq' Bp-Aq
Nun haben fair eine bestimmte Mantellinie die drei Grbllen a,fy
einen bestimmten Wert, oder, wenn eine dieser drei Gro"13en konstant
ist, so sind es auch die beiden. anderen; geht man aber zu. einer
anderen fiber, so iaindern alle drei ihren Wert, sie sind. also Zugrleich