Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumku~rven und Flilchen. 6

563

auf der (als Horizontalebene angenommenen) xy-Ebene senkrecht
stehen, und, deren Mantellinien stets dieselbe Horizontalneigungr haben.
Es sind dieselben Fliicben,7 die E ul er als,,kongruent" mit einer
Ebene von derselben Horizontalneigung bestimmt hat'1). Ilire Charakteristiken sind eben die Geraden, welche die Linien gr~i~en GefUlils darstellen, die Riickkehrkanten demnach Raumkurven, deren Tangenten stets
dieselbe Horizontalneigung haben (Seliraubenlinien eines beliebigen,
auf der xy-Ebene senkrechten Zylinders). An dieses Beispiel, knfipft
Mo nge noch eine wichtige Bemerkung, niimlich daB die Differentialgleichung der Charakteristiken direkt aus der partiellen
Differentialgleichung der betreffendell Filiehenfamnilie hergeleitet werden kann. Ist diese niimlich
F (x, y, z, p), q) - 0
und ist
so ist die Differentialgleichung der Charakteristiken:
Pdy - Qdx =- 0.
Als letztes Beispiel fUr FllichenfaiiilieD, die dureli eine partielle
Differentialgleichung 1. Ordnung definiert sind, folgen in Nr. 10 die
Filichen, weiche dureli Translation einer gegebenen Fliiche langs einer
Raumkurve, die auf einer gegrebenen Fliche liegt, also noch durcb
e in e willkllrliche Funktion bestimmt wird, als Enveloppen entstehen.
Von Nr. 11 ab werden Flichenfamilien behandelt, die durch eine
partielle Differentialgleichung zw eit er Ordnung definiert sind, und
zwar zuerst die Regelfidlihen, deren Mantellinien alle einer gegebenen
Ebene Ax + By d- Cz = 0 parallel sind. Zur Definition der Eludhe
sind zwei Raumkurven (Leitkurven) n6tig, die von jeder Mantellinie
geselinitten werden. Mon ge stellt nun die Gleichung der Flilche in
drei versehiedenen Formen auf:
1. Unabhiingig von den Leitkurven; hierbei ergibt, sich eine
Differentialgleichung 2. Ordnung, die er sehr elegant folgendermaBen
herleitet: die Mantellinie eines Punktes P (x, y, z) liegt erste ns in
der Tangentialebene der Fliiche, also besteht ftir die Koordinaten
x',Y y z eines ihrer Punkte die Gleichung:
p (x - X') —q (y - y') -(z ) 0.(1
Sie ist aber audh zweitens parallel der Richtebene, also hat man:'
_ A (x -x') +B(y -y') +C'(z- z') = 0. (2)
1) Siehe S. 550.
OANTOR, Geschicbte der Mathematik IV. 37