Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

Funktion (p entstehen, haben, wie M on g e sich ausdriickt, un caracte're
general, une proprie'te commune, une memne generation, unabh~ingig
von der Natur der Funktion qp; dieser gemeinsame Charakter kann
durch eine partielle Differentialgleicliung ausgedrflckt werden,
der salmtliche Fliichen dieser Art gentigen, und die von (p ganz frei ist,
w~ihrend. die endliche Gleichung natiirlich eins willkiirliehe Funktion
enthujit. Hier spielt nun eine wiebtige Rolle die Cliarakteristik;
Mo ng e verstelit darunter die Schnittkurve zweier Fhchen, deren Parameter nur urn eine unendlich kleine GrdBe sich unterseheiden, d. h. die
Schnittkurve der Filchen F =- 0 und OF 0. Die Enveloppe ist der
geometrisehe Ort der Charakteristiken und ergibt sich dureli Elimination von a aus diesen beiden Gleichungen. Ebenfalls wichtig ist
der Ort der Schnittpunkte dreier konsekutiven Filichen einer
Schar; d. hi. die Kurve, die definiert ist dureli die drei Gleichunagen
E=~0; F0; 2 0
Diese Kurve wird von simtlichen Charakiteristiken berfilirt, ist also
die Enveloppe derselben; M on ge neuant sie are'te de rebroussement.
Diese INerlegungen werden dureli emn geeignetes Beispiel. illustriert,
nilmilic dureli die Kanalfihichen mit ebener (in der xy-Ebene liegender)
Leitkurve. Als Differentialgleiehung derselben') ergibt sich
z2 (1 + p2-f-q2)-==a2.
Die Charakteristiken sind Kreise, deren Mittelpunkte auf der Leitkurve liegen und deren. Ebenen normal zu derselben sind. Als
Differentialgleichung der Charakteristikena ergibt sich:
pdy - qdx = 0,
und. als Differeutialgleichung der Riickkehrkanten (are'tes de rebroussement): z2(d X2 + dy2 + dz2) - a 2(d X2 + dy2).
Daran schliel~t sich die Ldsung einiger Aufgaben fiber Kanalfilichen,
z. B. eiue soiche FhIche derart zu bestimmen, daB sie dureli eine gegebene
Ranmkurve geht, oder eine gegebene FIliche Iiings einer Kurve berfllirt. Im. folgenden Blatt (Nr. 9) behandelt Mo nge in derselben
Art die Fliichen, fMr weiche die Linien grdften Gefujils Geraden mit
konstanter ilorizontalneigung sind. Er zeigt, daB sie als Enveloppen
einer Schar von Kreiskegeln angesehen werden k~nnen, deren Aclisen

1) Sie ist schon von Euler (s. S. 562f.) angegeben worden.