Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkvurven und Fl1tchen.56

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x=az+a; y==bz+13.
Soill diese Gerade einer gegebenen Riclitung parallel sein, so miiissen
a und b konstant sein, dagegen sind cc und (3 beliebig. Sie haben
aber beide fMr alle Punkte einer bestimmten Geraden konstante
Werte, und. ii n d ern be i de z u gIe ieh ihre Werte, wenn man zu ein er
anderen Geraden flbergeht. Und nun kommt wieder der einfache
SchluBl): Ces deux quantite's sont donc conustantes ensemble et
variables ensemble, done elles sont fonctions l'nne de l'autre. Man
hat also (3 -q (a~), ivmd damit (y - bz) == p (x - az) als ailgemeine
Gleichung der Zylinderflichen. M on ge bemerkt hier ausdriieklich,
daB (p nicht notwendig eine analytiseli ausdrdckbare Funktion zu
sein brauche, da sie ja von der ganz 'williklrliehe-n Leitlinie abhiingt,
die auch unstetig (non sonmis 'a la loi de continuite') sein k~inne2).
Es folgt die Ldsung der beiden Aufgaben, eine Zylinderfluiche zn
finden, 1) die durch eine gegebene Raumikurve geht, und 2) die eine
gegrebene Filiche berillirt. In ganz analoger Weise werden in Nr. 5
die Kegelfflichen urid die Rotationsfliiehen untersuclit. Bei ersteren
wird auch die Anfgabe gelbst, die Fliiche Zn finden, die den geometrischen Ort der Berifihrkurven aller Tange-ntialkegel bildet, die man
von eiinem festen Punkt als Spitze an alle Flichen einer eiufach unendlichen Schar legen kann. Bei letzteren wird die Rotationsfiuiche
bestimmt, die bei Umdrehung eiuer gegebenen Fhlehe um eine mit
ilhr fest verbundene Acbse als Enveloppe siimtflicher Lagen der gedachten Fliiche entstehit. Ebenso werden (Nr. 6) die FIiichen behandeft, die durcb Bewegung einer Geraden eiitstehen, welche stets.
parallel einer gegebenen Ebene bleibt, und dabei eine feste, auf dieser
Ebene senkrechte Gerade schneidet, also die senkrechten Konoidfiujhen
im heutigen Sprachgebrauch. Mo nge macht hier auch auf das Vorkommen soldier FIlicien in der Tecinik (z. B. windschiefe Schrauben1i4cie) aufmerksam. Von besonderem Interesse ist Nr. 7 und 8, wo
von der Enveloppe einer Fliichiensciar die Rede ist. Mon ge filhrt
hier den in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen so
wichtig geworde-nen Begriff der Charakterist ik ein. Die wesentlichen Punkte seiner ICberlegungen sind folgende: Entbiilt die Gleichung
einer FRiche F (x, y, z, ac, 03~=C z w e i variable Parameter, ac undj3
die durch eine Gleichung(3 (p (a) verbunden sind, so erluilt man
durci Variation von a eine einfaci unendliche Flijehensehar. Diese
besitzt eine Enveloppe, deren Gestalt natfirlich von der Funktion (p
abhiingt. Alle diese Enveloppen nun, die durci AbUinderung der

') Vg1. S. 536,

~~~~~') VgL1.56. 2 g. Fuf~note 1) S. 553.