Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

lytische Geometrie der Ebene und der Geraden im. Raum
und die Ldsungen aller vorkommenden Fundamentalaufgaben, also:
Ziehen von Parallelen, Miillen von Loteii, Bedingungen des Senkrechtstehens von Geraden und. Ebenen, kfirzeste Eutfernung zweier windschiefen Geraden, Neigungswinkel gegen die Koordinateiiebelnen, alles.
in einer, man m6chte sagen, kiassisehen Form dargestellt, fiber die
man eigentlich bis heute nicht wesentlich hinausgekommen ist.
Namentlich ist hervorzuheben die Verwendung der Elimination zur
Herleitung von Schnittpunkten und Schnittpunktsbedinguiigen, an.
melirerena Stellen scheint es auch, als ob die Aufgaben und Methoden
der deskriptiven Geonietrie von. EinfluB auf die Behandlungsweise gewesen walren, so namentlich bei den Anfgaben fiber das Fiillen von
Loten auf gegebene Ebenen.
Mit Nr. 4 begiiunt die Behandluing der Fliiehenfamilien, die
durhelineje gemeinsame Eigen~schaft definiert sind. Dieser Begriff ist
eigen~tlich erst durch Monge in die Wissenschaft eingeffihrt und zur
vollen Kiarbeit durchgearbeitet worden. Die Untersuchungen fiber
diese Dinge nebmen auch den grdl~ten Raum. in dem. ganzen Werk
emn, und bilden sozusagen. dessen Grunldidee, wenn man bei einem,
so fiberreichen. Inhalt fiberhaupt von einer solehen spreehen kann..
- Zuniiehst werden. Tangentialebene und Norinale aufgestellt, erstere
in der Weise, daB einer beliebigen durch den betreffenden Fliichen.punkt gehenden Ebene die Bedingung auferlegi wird, noch durch
jeden beliebigen Naehbarpunkt zu gehen. Naclidem so die Tangentialebene bestimmt ist, wird. nach den in Nr. 1-3 en~twickelten Methoden
leieht die Normale hergeleitet, die Monge aul~erdem. noch dureli den
Schnitt zweier Normalebenen bekommt; letztere gewirint er dureli zwei
Kugeln. mit gleichem, Radius, von denen die eine ihren Mittelpunkt
in dem betreffenden Punkt, die andere in eineim Nachbarpunkt hat.
Die Ebene des Schnittkreises ist dann eine Normalebene der FlIiche.
Dabei wird der Ubergang zum Naehbarpunkt einfach durch Differeuzieren ausgefiihrt, eim Verfaliren, das M o n g e im ganzen Werke
vielfach anwendet.
Daran sehlieBt sich die Au~fstellnng der Gleichung der Zy lin derflich en, und zwar wird zun'aichst ihre partielle Differen~tialgleiehung
sehr einfach dadurch hergeleitet, daB man der vorher aufgestellten
Tangentialebene ein~er aligemeinen FlIiche die Bedingung auferlegt,
einer gegebenen Geraden parallel zn sein. Hieraus ergibt sich sofort
die gesuchte partielle Differentialgleiehung: ap 4- bq =- 1. Dann wird.
die allgemeine Gleichung in endlicher Form aufgestellt, und. auch
hier ist die SchluBweise fiberraschend einfach: Mon go geht aus von
den aligemeinen Gleichungen einer Geraden: