Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

der Ebene auf den Raum entsteht, n~imlich F1~chen zu finden, die
eine gegebene Sehar fiberall reehtwinklig schneiden. Sie bildet den
Gegenstand einer Abhandlung von. E ule r aus seinen. letzten Lebensjahren:,,De problemate Trajectoriarurn ad superficies translato" )
(12. August 1782). Euler verfiihrt auch hier symmetrisch: fUr die
gegebene Fliichenschar (secandae) sei:
pdx + qdy + rdz ==0
die differenazierte Fliehengleichung, fuir die gesuchte:
Pdx -F Qdy + Rdzr= 0.
Dann ist die Bedingung der Orthogonalitiit:
pP +qQ +rB =-0.
Daneben bestelit die allgemeine Integrabilitiisbedingung:
a Q ' P OB.RN + -P pfr)
Nimmt man die Filiachenagleichungen nach z aufgelo~st an, so ist die
Bedingung der Orthogonalitiit:
pP+qQ+ 1=0O.
Euler behandelt nun den allgemeinen Fall derart, daB er zwei Integrale, u und v, sucht, die je eiue Yariable niclit enthalten, so da.B
also z. B. u nur x und y, v nur y und z enthailt. Dann heil~t z. B.
fUr it die Bedingungsgleichnng:
die nacli der gew~ihnlicheii Metbode behandelt werden kann, sofern
auch p und q von z frei sind. Ist so u, und auf dieselbe Weise v
bestimimt, so geniigt; auch jede Gleichung von der Form
v == U
der Differentialgleichung. Euler nennt sie das,,integrale completum";
ihre Herleitung geschieht jedoch in den meisten Beispielen, die er
gibt, mit Hilfe des S. 5051 erwiihnten Schiusses. So ist fflr die
Kugeln:
X,+,+Z-C,=O; - x- -Y
also die Differentialgleichung der gesuchten Fldchen:
')M. P. VII, P. 33-60.