Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven mid FRIihen.53

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diese auch wirkileli ganz beliebig, sogar diskontinuierlich') angenommen werden k~nnen. - Auf die analytische folgt eine geometrische Lbisung, als einfachstes Beispiel von Filiohen dieser Art
nennat Euler die Ringfldche, von der er sagt, daB sie wie eine Wurst
aussehe (,,arciminis figuram mentiens"), und sehliigt schijefflich vor, die
hier gefundenen Fliiehen als,,gekriimmte Zylinder" (cylindri ineurvati)
zu bezeichnen. In derselben Abliandlung wird noch eine aligemeinere
Aufgabe gel~st, nilmilic daB das StUck ZN der Normalen niclit konstant,
sondern eine Funktion Z von z sein soil, so daB also die Differentialgleichung der Fliiche in diesem. Fall ist:
ZJ1/i + Pp2 q2 Z.
Die Integration wird auf ganz analogem Wege bewerkstelligt und
f filirt auf die Gleichiungen:
X~t~vcosq2; y=M+v-sin~p; i1z2Z
wo, wieder t eine willktrliche Funktion von u ist.
Auch die geometrische Deutung ist eine iihaliche: es ist einfach
an Stelle des Kreises eine beliebige, durch Z definierte Kurvre getreten, d. h. eiue Ebene, in der diese K-urve liegt, bewegt sich senkrecit zur xy-Ebene so, daB emn in ihr fest aingenommener Punkt eine
willkiirliche Kurve beschreibt, und eine feste, durch diesen Punkt
gehende Gerade stets in die Normale der Kurve fiiMt; dann beschreibt
die in der beweglichen Ebene liegende Kurve eine Fliaiche der gesuchten Art, die man wolil als,,esimsfluichen" bezeichnet hat. Beide
Fliichenfamilien, die Kanal- und die Gesimsfli~chen hat Mouge unter
anderen Gesichtspunkten spiiter auch untersucht, wie wir weiter unten
sehen werden. Auch Euler hat sich noch einmal mit beiden Arten
von Flichen beschiiftigt in den beiden Abiandlungen:,,Investigatio
superficieruim, quarum normales ad datum planum producetae sint
omnes inter se aequales"2) (28. Dezember 1777) und,,De corporibus
cylindricis incurvati S"13) (21. September 1778). Was diese Neues bieten,
ist im wesentlichen der Satz, daB ffir beide Arten von Flichen In -
halt uned Oberfliiche nach der Guldinschen Regel berechnet
werden kann, und daB dies auch dann noch gilt, wenn die Leitkurve nicht eine ebene, sondern eijue Raumikurve ist.
Ebenfalls auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung
ftihrt eine Aufgabe, die audi durch U~bertragung eines Problems von
1)Ob soiche zulassig seien, war eine in jener Zeit melirfach diskutierte
Streitfrage. S. Abselin. XXVII. 2 N. A. P. X, p. 41-46. 8)Ebenda, XII,
p. 91-100.