Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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550 ~~~~~Abschnitt XXIV.

und r q2 + tp2 - 2jp qs = 0. Die zweite lehrt, wie M on ge gezei gt hat'1),
daB die Flilehe erzeugt wird dureh Bewegung einer Geraden parallel
der xy- Ebene. Mit Zuziehung der ersten ergibt sich die windschiefe
Seliraubenflujehe. Emn zweites, Integral findet er, indem, er die Rotationsfiaichen suclit, die zugleich Minimalffluihen sind; dies fillrt auf
das Katenoid. Meusnier ist also auch der Entdecker der ersten
speziellen Minimalfliiehen.
In sehr eleganter Weise wird daun noch die Differentialgleiehungr
der abwickelbaren Fliehen aus der Bedingung abgeleitet, daB r oder
unendlich wird, und schlieBlich gezeigt, daB fair alle Regelfluichen,
die niclit abwickelbar sind, r und 9 versehiedenes Vorzeichen haben.
Damit sind die allgenmeinen Untersuchungen liber die Theorie
der Fliiehen erledigt, und wir wenden uns nun zu einer Gruppe von
Arbeiten, die sich damit befassen, die Gleichungen von Flilhen
mit gegebenen Eigensehaften aufzustellen. ilierher geli~ren ja
eigentlich die abwickelbaren Fliichen auch schon als besonderer Fall.
Zuerst steht bier Lagrange mit seinem berilhmten,,Essai d'une nonvelle me'thode pour determiner les Maxima et les Minima des Formules
integrales indeflinies"2), wo nach den Methoden der Variatiousrechnung
die Differentialgleichung der Miiiimalfliichen in der bekannten Form
aufgestellt wird: r (1 + q2) + t (1 + p2) - 2pqs 0. Dann folgt
E ul er mit einer interessanten, Abhandlung:,,Evolutio insignis paradoxi circa aequalitatem superficierum".3) Es handelt sich hier urn die
Aufgabe, zwei Flaichen zu finden, so daB die Uiber demselben
StUck der xy-Ebene stehenden Flijehenteile gleich sind. Euler
kommt zunaichst darauf zu sprechen, daB hier emn wesentlicher Unterschied zwischen ebenen Kurven und Flichen bestelit, insofern zwei Kurven,
bei denen zu gleichen Abszissen gleiche B~gen geli~ren, stets kongruent sind, wiihre-nd dies bei zwei Fliichen der oben genannten Art
nicht zuzutreffen braucht. Dies ist das Paradoxon, von dem der Titel
spricht. Es liift sich nun leiclit zeigen, daB der obigen Forderung
genflgt wird, wenn p2 + q2 fair beide Fliiehen denselben Wert haben.
DaB dies far zwei verschiedene Flitchen fiberhaupt m~iglich ist, zeigt
Euler an dem Beispiel der beiden Paraboloide
Y2 und z== '.
2a a
Zwei Fliichen dieser Art neunt er k oin g rue nt, und die Aufgabe, alle
Flhachen zu. finden, die einer gegebenen,,kongruent" sind, konmmt darauf hinaus, die Gleichung p2 -1 q2= f(x, y) zn integrieren, was E uIe r
1) Siehe S. 365. 2)Miscell. Taurin. 1760. 3) N. C. P. XIV, Pars I
769, p. 104-128.