Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven mid FlItchen.54

549

Er verfiihrt dabei folgendermal~en: Das Fliichenelemient entstehe
duireh Rotation eines unendlich keiejen iKreisbogens AmB, dessen
Halbierungspunkt m und dessen Sehne
AB== 2 c ist, urn eine Achse JHK,
die der Seh-ne AB parallel ist, undA
von ihr den Abstand A H a hat.
Der Radius r des Kreisbogens ist
dann der eine, der Abstanid mg des
Mittelpunktes m von IHK der andere
Hauptkriimmuugsradius o des Elementes. Ist nun g der Schwerpunkt
des Bogens ArnB, so mug3 wegen der
Guldinsehen Regel das Produkt
qI. AmB
emn Minimum werden. Hierfiir ergibt YK
sich unter der Vora-ussetzung, daB w i. 1
sehr klein ist, daB also:
AmB =2co
gesetzt werden kann:
~ 29 +
Zwischen den beiden Variabeln r und 9besteht aber die leiclit herzuleitende Beziehung:
Unter Berilcksichtigung dieser Gleichung ergibt sich durch Differentiation als Bedinglcung dafiir, daB das Filichenelement emn
Minimum werden soil, r + 9 0.
Man verdankt also Meusnier den Satz, daB in jedem
Punkt einer Minimalffhiche die Hauptkrfimmungsradien
gleich und entgegengesetzt gerichtet sind. Auf Grund hiervon
kauan die Differentialgleichung der Minimalfliieheu leiclit aufgestelit werden, da ja r und 9 in Funktion der Differentialquotienten
pi q, r, s, t (fdr die drei letzteren schreibt Menusn i er: mn, n, s) bekanint sind. llierbei ergibt, sich die bekannte Gleichung:
r(1 + q 2)-+ t (I ~r2) - 2pqs = 0.
M~eunsier bemerkt, daB man auBer der Ebene noch keine Flache
kenne, welehe dieser Gleichung genfige. Er findet nun zwei partiknliire
Jutegrale, da's eine dadureb, daB er die Gleichung zerlegt in r + t == 0
36*