Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Absebnitt XXIV.

courbure" r und p fallen. Ist nun A 9 die Schnittgei'ade einer beliebigen, dureli A gehenden Schnittebene mit der xy-Ebene, co ihr
Neigungswinkel gegen dieselbe, <)c GA Q = —, so erhiilt man fair den
Kriimmnungsradius B dieses Selinittes:
B I,__inc 2rp sin w
r sinz2 + Qcos~ (r + )(r -() sin 2z(1
Setzt man co = 900, so ergibt sich der Kriimmungsradius B' eines
Normalschnittes, niimlich:
(2)
Der Yergleich dieser Gleichung mit der Eulersehen Formel
(S. 5046) zeigi, daB r und Q nichts anderes sind, als die von Euler
berechneten extremen Werte der Kriimmungsradien der Normalschnitte. Das ist die erste der beiden Folgerungen. Die zweite
ist das aus (I) und (2) sich sofort ergebende Meusniersche Theorem:
B = R' sin co, (3)
das Menusn i er in folgende geometrische Form kleidet:,,Si l'on coupe un element de surface par un plan qui lui soit
perpendiculaire, qu'on imagine une sphe're qui lui soit tangente, et
dont le rayon soit 6gal an rayon de courbure de la section, dont
nons venons de parler, qu'7on fasse par l'intersection du plan coupant
avec le plan tangent un autre plan quelconque, il fera, dans la sphere,
et dans l'6le'ment de surface des sections d'e'gale courbure."1
Mit Zugrundelegunag der Formel (2) wird nun die Art der W81lbung des Flichenelementes, und Ilre Abh~ingigkeit vom Vorzeichen
der Radien r und 9 diskutiert, die Riclitung bestimmt, fair welehe B
tuuendlich groB wird, und der Spezialfall, daB r oder 9 unendlich
wird, erbrtert. Sodaun wird auf emn b elie bi g es Koordinatensystem
ilbergegangen, und die Grbl8en c, e, f, und damit auch die Hauptkrtimm-ungsradien durch die partiellen Ableitungen erster und zweiter
Ordnung von z nach x und y ausgedrtickt. Es folgt noch eine Anwendung auf Rotationsfluichen, und die Bestimmung der Filichen, fMr
welche r == 9 ist, was natflrlich auf die Kugel fiffhrt.
Der oben (S. 547) aufgestellte Satz fiber die Erzeugung eines
Fliaichenelementes durch Rotatioii eines Kreises wird nun angewendet,
um, die wichtigste Eigenschaft der Minimalffichen herzuleiten, niimlich, daB r H 9 == 0 ist. Meusnier berechnet unter Zugrundelegung dieser Erzeugungsweise den Inhalt eines FhIchenstllckchens
von gegebener Begrenzung, und stellt die, Bedin gu-ng dafiir auf, daB
dieser emn Minimum wird.