Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und Phi~chen. 5f

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iind darauas den bemerkenswert-en Satz hergeleitet, daB das Quadrat
eines ebenen Flilehenstflcks gleich der Summe der Quadrate
seiner Projektionen auf drei zueinander senkrechte Ebenen
is t; auf die Analogie dieses Satzes mit dem pythagoreisehen Lelirsatz wird ausdrlckldich hiingewiesen. Der Rest handelt von einigen
speziellen Regelfiachen, und wird weiter unten, wo wir fiber die Einzeluntersuchungen bericliten, nochmals zu erwiihnen sein.
Eulers berifihmter Satz fiber (ie Krtimmungsradien der Normalsehuitte eiuer Fliiche steht in semnen,,Recherches sur la courbure des surfaces".') Die Untersuchung ist dureli ziemlich umstiindliche Rechnungen gefifihrt, von denen wir nur die llauptresultate
angeben. Euler betrachtet die Schnittkurve der Fliche mit einer
beliebigen Ebene z =- txy - O3x + y, und findet fUr dell Kriimmungsradius Q dieser Kurve den Ausdruck:
[a2'+ P - 2aq + 2lp + (cap +pq)2+p2 +q2f/2
wo p, q, r, s, t die bekannten Differentialquotienten sind, und zur
Abkiirzung -11 -j- p2 + q2 =- a gesetzt ist. Hieraus wird nun der
Kriimmungsradius r (natifrlich niclit zu verweclisein mit dem
Differentialquotienten r) eines beliebigen Norm als chnitts hergeleitet, und zu diesem. Zweck der Neigungswinkel aO der Schnittebene
gegen die xy-Ebene, und der Winkel ~, den ihre Spur in dieser
Ebene mit der x-Achse macht, eingeffiihrt. Es ergibt sich dann emn
ziemlich komplizierter Ausdruck; mit Hilfe desselben werden zuniichst
die Kriimmungsradien der Schnittebene, weiche durch die z- Koordinate
geht, umd der zu ilir senkrechten Ebene berechnet, die Euler als,,,sections principales" bezeichnet. Nun wird der Winkel q9 eingefifihrt,
den die Ebene des beliebigen Normalschnitts mit der eines der' Hauptschnitte bildet. Ilierdurch ergibt sich:
(p2 + q)u3
r,(p _q tgqpU)2 + t(q +p tgqp~u)2 2s (p -qtgy. u) (q +p tgqp u)'
also emn Ausdruck von der Form:
r~~~~~~
wo L, 11, N Funktionen der Differentialquotienten p, q, r, s, t sind,
die sich leiclit angeben lassen. Aus dem letzten Ausdruck folgert
nun Euler die wichtigen Siitze:
1. Die Kru-mmung zweier Fliichenelemente stimmt ftberein, wenn

') list. de l'Acad. Royale dl. Sciences et Belles-Lettres ui Berlin 1760,
P. 119-143.