Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und Flichen.

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nach dem angegebenen Verfahren eine rektifizierbare Kurve bestimmt,
und der Bogen der gesuchten Flachenkurve der z-Koordinate proportional gesetzt wird, also:
s == nz; ds = n dz.
Bezeichnet man das Bogenelement der Kurve in der xy-Ebene mit
d6, so daB:
d6 = dX2 + dy2
ist, so ist:
ds2 = d x2 + dy2 +- dz -- d 6 + d
oder:
ds t -'= 1 / 2 -1
a n d 'z
-= s _ — n2- 1.
n
Die Gleichungen der Kurve in der xy-Ebene sind nun nach
S. 480:
dv dv
X =d. in (p - v cos (; y == d cos p- v sin
dcp dq q
und der Bogen 6 ist dann:
dv C
6 == +Jvd.
Ist nun die Gleichung des Ellipsoids:
z2a c2 - ( 2 — y2) = 2 [1- _ dv2]
so hat man nach den vorangehenden Gleichungen:
dv V- 3-S~d~ -- C ~1 -- v 2 dV2\
dc/ + \/-= C - -(1.
Um diese Gleichung integrabel zu machen, setzt Euler:
v = cos (p -- + ),
wobei sich fur I die Bedingung ergibt:
2 =c (n2-1)
und die Horizontalprojektion der gesuchten Kurve die Form erhalt:
x = - cos 9 P cos (AIt + a) - A sin (p sin (Ap + a),
y = sin ( * cos (tA p -- c) -- cos ~ sin (A T+ a);
fur I ist hierbei noch der aus der vorangehenden Gleichung sich ergebende Wert einzusetzen. Da fiber c keinerlei Voraussetzung ge