Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abscbnitt XXIV.

SchlieBlich wird. die Integration fUr Rotationsfia~chen durehgefifihrt,
x 2 + i2t
deren Gleichung in der Form -- s --- + f (z) = 0 angenommen wird,
so daB _p == x, q == y wird, woraus duroch eine erste Integration mit
der Konstanten A folgt:
Ads -xdy -ydx.
Dureli Einffihrung von Polarkoordinaten in der xy- Ebene
(x = —v -cosT9; y = vsing()
folgt: ___
dv 1/r2+ v2
d rp V A2+V"
wo r eine Funktion von v ist, die den Meridian der Rotationsflijehe
bestimmt.
Es wird dem Rulim und den Verdiensten von GauB keinen Emntrag tun, wenn wir hier darauf hinweisen, daB versehiedene der
Gedanken nnd Metho den, von denen er ini den,,Disquisitiones
generales" mit so glIinzendema Erfoig Gebrauch maclit, sich
(allerdings zum, Teil in spezieller Form, oder niclit ansdrticklich formuliert) schon bei Euler finden, z.' B. die spliarisehe Abbildungo (S. 527), die Darstellung der Fliichen in Parameterform (S. 529), die Ubereinstimmung des Linienelements als
Bedingung ftir die -Abwickelbarkeit (S. 530) und endlich
die Behandlung der Differentialgleichung der geod ~tischen Linien
mit Hilfe des Winkels, den sie mit einer auf der FlIjohe befindlichen Kurvenschar bilden (S.53)'
Die im vorigen Kapitel besprochenen Arbeiten Euler s fiber die
Rektifikation von Kurven stehen in gewissem Zusammenhang mit
Untersuehungen fiber rektifizierbare Kurven auf Fi1ichen, sofern
er auch hier die S. 480 angegebene Methode anwenadet. ) Ffir die
erste der hierher gehidrigen Abliandlungen trifft dies allerdings niclit
zu, wohi aber fair die Utbrigen. Jene handelt:,,De curva rectificabili
in superficie sphaerica" 3), bringt aber keine volistandige Ldsung der
Aufgabe, sondern leitet nur ffir das Bogenelement den Ausdruck her:
ds sins
jt~r, wo r der sph~irische Kruimmungsradius, s der Bogen der Evolute ist. Die zweite Abliandlung heiBt:,,De lineis rectificabilibus in
superficie sphaeroldica quacunque geometrice ducendis"14) (4. Juli 1776).
Es sollen also hier auf einenm Rotationsellipsoid. rektifizierbare Kur'ven
gefunden werden. Der Weg zur L~isung ist der, daB in der xy-Ebene
1) Vgl. auch Euler, Opera posthuma I, p. 491-496, und Lagrange,
Oeu-vres XIV, p. 217, 221. S. Stiickel in Biblioth. Mathem. (3) IL (1901), p. 123.
2) Stilekel, Leipziger Bericbte 1902, p. 102. ')N. C. P. XV (1770), p. 196
his 216. 4) N. A. P. III, p. 5 7 -68.