Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und F111chen.53

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ds =-dxj/i + p2 + (f +gp)2.
Es soil nun das Integral
f,d x }/1 +__P2 _+ (f +~ gPO2
zni eiuem Minimum gemaclit werden. Die Anwendung der von Euler in
der Methodus inveniendi aufgestellten Regeln ftihfrt auf die Differentialgleichung dp (1 + f2 + g2) -F (g - fp) (df + pdg) == 0. Dies ist eine
Differentialgleichung zweiter Ordnung. Eine erste Integration leistet
Euler durchi einige Substitutionen; er setzt niimlich
v = 7- f; f2 +92-=h2; - -k; s==th2
Es ergibt sich so
ds __ dk
1+8 ( + k2)y/1 + h2'
so daB wenigstens die Variable s isoliert ist.
Es ist von Interesse, daB die hier eingefifihrte Gr6Be s eiue einfache
geometrische Bedeutung hat; ist n~imlich w der Winkel, den eiue
geodatische Linie mit den Kurven z =- coust. bildet, so ist s == tg wv;
dieser Hinweis fehlt allerdings bei Euler, aber immerhin ist es bemerkenswert, daB G auB die Integration der geodiitischen Linie auf
iihnliche Weise angegriffen hat'), ndmlich durch Einftihfrnng des
Winkels, den sie mit den Parameterkurven bilden. - Des weiteren
ist bemerkenswert, daB E ul er hier, wohl zum erstenmal, eine s ym -
me tr ische B ehian diunng der drei Koordinaten eines Flichenpuuktes.
und einer ftir sie abgeleiteten Differentialgleichung unteruimmt, die er
mit den Worten einleitet:,,Universam hane quaestionem ita tractare
mihi est visum, ut omnes formulae panl ratione tres co ordinatas
X, y, z involvan t, quo pacto speculationi potius consulatur quam
usui; haneque ob rem investigationes sequentes subjungam". Er nimmt
nun die Differentialgleiehung der Filiche in der Form an:
pdx + qdy + rdz = — 0,
und erhuilt als Differentialgleichting der geod'aitischen Linien:
d2X (qdz - rdy) + dly (rdx - pdy) + d 2Z(pdy - qdx) == 0,
die er noelh in die Form setzt:
d2s _qd 2Z - rdly __rd2x -- pd 2y __pd'y - qd'x
ds qdz -rdy r dx -.pdz -pdy -qdx

1) Disquisitiones generales circa superficies curvas, Art. 18.