Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

538 Abschnitt XXIV.
daB JVdx emn Maximum oder Minimum wird, wo V eine Funktion
Ton x, y, z und den Differentialquotienten von y und z nach x ist.
Die Aufi~sung ist folgende:- Euler setzt zuniichst
dy dp dlq
dz x dp x dq'
dz xvi dp f=q dq -=r us5w.
Ferner
und findet als Bedingungen:
diP +d 2Q d'J?
N- dx 2-d
dxP dQ dx"I?
Treten nur die Differentialquotienten erster Ordnung p und p' in
V auf, so reduzieren sicli diese Gleichungen auf:
N-dP 0 IN dIP'
AT- d =_ 0 N - dx'-i ~0
TDiese Mvethoden werden auf einige, Beispiele angewendet.
Unter den Arbeiten, die sich auf Fliichenkurven (d. h. -Raumkurven, die auf einer gegoebenen FlIche liegen) beziehen, ist die bedeutendste die von Euler fiber geodiitische Linien:,,Aecuratior evolutio problematis de linea, brevissima in superficie quacumque ducenda" 1) (25. Januar 1779). Es werden keine, wesentlich neuen
Resultate gefunden, da ja Euler die Aufgabe selbst schon frfther gel8st hat (111%, S. 817iff), bemerkenswert ist aber die Jierleitung der
Differeutialgleichung und namentlich ilire Integration. Zunii'chst werden,
folgende Bezeichnungen eingefiffhrt:
dz ==fdx +gdy; df = —dx + dy; dIg =t dw+ ydy,
so daB das Linienelement ds einer beliebigen auf der Fliiche gezogenen
Kurve die Form erhallt:
ds -= }/dx 2+ d y2 + (fdX -F gdy)2,
oder, wenn dy == pdx gesetzt wird:

') N. A. P. XV, p. 44-54.