Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.,,uteur de la coupe de pierres" (also wohi Freizier) sich hiertiber
niclit ganz kiar sei; die abwickelbare FIliche wird. definiert durch die
Eigenschaft, daB sie sich oline Faltung und ZerreiBung in eine
Ebene ausbreiten lasse, und ilire Gleichung auf drei versehiedene
Arlen und. in drei verschiedenen Formen hergeleitet, niimlich:
1. in endlicher Form, indem die Koordinaten eines beliebigen
Punktes auf der Tangente der Raumkurve auf'gestellt werden. flierbei treten zwei, die Raumkurve bestimmende, wil~ktrliche Funktionen
auf; diese werden durcli zweimaliges Differeuzieren eliminiert, was die
Differentialgleichung rt - S = 0 liefer~t.
2. Diese wird direkt gewon-nen durch Aufstellung der Schnittgeraden zweier konsekutiven Tangentialebenen und Beriicksichtigung
der Tatsaehe, daB fuir eine abwickelbare Fliehe, und. nur fUr eine
solehe, diese Sehnittgerade dieselbe bleibt, gleichviel ob bloB x oder
bloB y sich iindert.
3. Jrings eines Filiehenelements (= Streifen zwischen zwei konsekutiven M~antellinien) sind. p und q be ide kon st ant; wenn man
zum, niichstfolgenden iibergeht, so iindern sich beide gleichzeitig.
Nun kornmt der in seiner Neuheit ilberrasehende Schiu.B: p und q
siud also,constants ensemble et variables ensemble, done on doit avoir
p == T q" d. h. p m~uB Funktion von q sein (oder umgekehrt). Damit ist zugleich emn erstes Integral der Differentialgleichung
rt - s2== 0
gefunden.
Ahnlich wie bei Euler (s. S. 5031), aber' weiter ausgefUihrt, folgt nun
eine Anwendung der Theorie der abwickelbaren Ffilchen auf die,,ombres
et pe'nombres". Sind zwei K~rper, emT leuclitender und ein dunkler,
gegeben, so zeigt Monge, daB die Grenze zwischen Kern- uend llalbschatten gebildet wird von einer abwickelbaren Flijehe, welche die
beiden K6rper beriihrt; das Gleiche gilt fair die Grenze von Haibsehatten und Liclit; die Rtickkehrkante liegt im letzteren Fall zwischen,
im ersteren auBerhalb der beiden Kbrper. Es wird dann zuniihst
der einfachste Fall erledigt, daB der leuchtende K,5rper ein Punkt ist.
Sind a, b, c die Koordinaten des Punktes, ist z K(x, y) die Gleichung der Flitche und hieraus ~ P ~ Qso ergibt die GleiOx 'y V
chung: z - c =(x -a) P~+(y - b) Q in Yerbindung mit z:= K(x,yI
durcli Elimination von z die Horizontalprojektion der Liclit- und
Schattengrenze oder der Beriihrkurve des von dem Punkt an die
Fliche gelegten Tangentialkegels. Damit ist zugleich die erst e
Polarfliiche des Punktes in bezug auf die Fla-che aufgestellt, wenngleich diese Bezeichinung natiirlich nicht auftritt. Es wird dann nocl