Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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534 ~~~~~Abschnitt XXIV.

von x, y, z aus, so erhalit man die Diff erentialgleiehung der geodiitischen Linie-n, namrlich:
(ds + d2) dy - dydz - [l$~] d~z
wo ds2 = dX2 + d y2, und wo die Differentiale von z verm~ge der
FlIichengleiehung durch x, y und ihre Differentiale auszadriieken sind.
Daran schlieft 'sich eine Anwendung auf ebene und sphiirische
Kurven: fUr erstere ist die Polarfihiehe emn Zylinder, der auf der
Kurvenebene senkrecht stelit, und dessen. Basis die gew~hnliche
Evolute (der Kurve ist; ffur letztere ist es emn Kegrel, dessen Spitze im
Mittelpunkt der Kugel liegt. Es folgen einige aligemeiine Bemerkungen geometrischer Natur f-ber abwiekelbare Fliichen Ufberhaupt
und ihre Riickkebrkante, fUr welehe Monge den Namen,,are"te de
rebroussernent" eingefflhrt hat. Die analytische Behandlung gelit aus
von der Kurvengleichung in der Form y =- cp (x); z = ip (x), und es
werdeni nacheinander die Gleichungen der Normalebene, der abwickelbaren Polarfiliehe, ihrer Rtickkehrkante und einer beliebigen Evolute
aufgestellt. Dann kommen Bemerkungen fiber die zwei Arten von
Wendeptinkten einer Raumkurve, die Monge als,,points de simple
inflexion" uind,,points de double inflexion" unterseheidet. Die ersteren
sind Stellen, wo vi er konsekutive Punkte in einer Ebene liegen;
hier werden zwei konsekutive Polarachsen parallel, die Rilekkehrkante der Polarfliiche hat einen unendlichen fernen Punkt, oder, in
moderner Ausdrucksweise: die Torsion der Kurve ist = 0. Als
Bedingung fair solehe Punkte findet Monge:
d'y d'z d'z d' y
dx dx -d'dx'=
Letztere, die,,points de double inflexion" sind Stellen, wo d re i konsekutive Punkte in einer Geraden liegeni, d. h. wo die Krimmnung
d e r K u r v e = 0, und der Kriimmungsradius unendlich wird. Urn
solche Punkte zu bestimmen, wird zunii'chst fair den Krflmmurigsradius die Formel entwickelt
Daraus ergibt sich als Bedinguing fMr einen solchen Punkt: (P" ==0;
=0 0. Den Schlul3 bilden Betrachtungen fiber die Dd'veloppe'e einer
abwickelbaren FlUlehe; es ist dies die abwickelbare Fliaiehe, die heute
die rektifizierende hei~t. Von dieser weist Monge folgende
Eigenscbaften nach:
1. Wird die De'veloppe'e in einer Ebene abgewiekelt, so geht die
Raurukurve in eine G era de fl1ber. Mon ge drflckt allerdings diesen