Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

530

Abschnitt XXIV.

den Bedingungen der Abwickelbarkeit. Man sielit leiclit, daB
Euler damit nichts anderes gezeigt hat, als, daB, rnodern ausgedriickt,
das Linienelement der Fliaiche mit dem der Ebene iiber-einstimmen muB. Analytiseli betrachtet, handelt es sich also urn die
Aufgabe, drei Funktionen von t and u so zu bestimmen, daB ihre
partiellen Ableitungen den aufgestellten Bedingungen genUgen. Diese
werden gefunden durch eine geometrisehe Behandlung des Problems. Euler entwiekelt n~imlich die Beziehungen der abwickelbaren
Fliiehen zu den Raumkurven, und zeigt, daB die Tangenten einer
beliebigen Raninkurve stets eine abwickelbare Fliiehe bestimmen; die Koordinaten eines, beliebigen Punktes einer soleben
werden nun folgendermaBen dargesteilt (vgl. Fig. 56). AT, T U, U V
z ~~~~~~~seien die Koordinaten t, u, v
eines Punktes V der Raumkurve, S der Schnittpunkt
seiner Tangente, mit der
xy-Ebene. M der Schnittpunkt von S U mit der
x-Achse. Die entsprechenden
GrbBen fuir einen Nachbar~1't il i ~-punkt v sind mit kleinen
Buchstaben bezeichnet, so
daB z. B. At ~t-j —dt ist,
usw. 1st ferner L 11 UT=
L U VS =0', und sind u:=f(t)
und v = p (t) die Gleichungen
der Raurnkurve, so ist:
dt dt
Fig. 56. tg =; Uu=
dv= dtct
Uuctg0'=in ~ g*
dt _
iDaraus folgt fiir das, Kurvenelement: 'Vv Sind nun x,
jz die Koordinaten eines beliebigen Punktes Z auf der Tangente VS,
mid ZVY= s, so hat man:
x~t-ssin0'.sin~; y~u-s-sin0'*os~; z==v-scosf'~,
wobei durch die Gleichungen
tg d;t =dt d u i=' f'(t) dt; dv t- p'(t) dt
d_~ dv - didie Winkel ~ und 0' in Funktion von t bestimmt, also die Koordinaten x, y, z eines Punktes einer beliebigen abwickelbaren FlIiche als