Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Raumkurven und FI~clien. 2

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Hat man ein rechiwinkliges Parallelepipedon, dessen Kanten den
Aclisen parallel iind, und sind die Kantenliingen
1. X, y, z, so gibt die Diagonale die Riclitung und, Grdfle des.
Radiusvektors an;
2. sind sie p, q, r, - die Richtung der Tangente;
3. sind sie dp dq dr RihugudG8eesKim
ds'Ids' I8 dsbugun rB dsKim
mungsradius;
4. sin d sie rdq -qdr pdr -rdp qdp -pdq Iso stelit die Diagods ' ds ' ds'
nale adf der Schmiegungsebene senkrecht.
Damit sind wir nun schon auf dem. Gebiet der Raumkurven
u-nd der damit eng zusammenhiingenden abwickelbaren F14chen
angelangt, emn Zusammenhang, der auch erst in unserem. Zeitraum.
genauer studiert und kiar erkannt worden ist. Auci hier war E ulI e r
der erste, der sich mit diesen Beziehungen bescihiftigt und dabei
sogleich wichtige Resultate gefunden hat. Seine Arbeit, die sehr beachtenswert ist, ist betitelt:,,De solidis, quorum superficiem, in planum,
explicare licet".') Zu bemerken ist hier, daB Euler zwar noci in den
Anschauungen seiner Zeit befangen erseheint, insofern er von,,solidis"
spricht2), daB er aber doci den ersten Schritt zur heutigen Betrachtungsweise der FIlicien als selbstiindiger Gebilde tut, indem. er die
Koordinaten der Fliichenpunkite als Funktionen zweier Parameter 4 it darsteilt, und untersucit, weichen Bedingungen diese
genfigen mlissen, wenn die Fliche in eine Ebene abwickelbar sein
soil. Euler geit aus von der abgewickelten Fliiche, nimmt t und u
als rechtwiuklige Koordinaten eines Punktes der Ebene, und betracitet in dieser Ebene emn unendlici kleines recitwinkliges Dreieck,
dessen Ecken die Koordinaten (t, u); (t4-Vdt, u); (4, u +du) haben,
und das wegen der Abwickelbarkeit dem. entsprechenden Dreieck auf
der FRiche selbst kongruent sein muB. Er bezeichnet nun die partiellen Ableitungen von x, y, z nach t unci u mit 1, A;;m,g; n, v
(also = n usw. Dann sind die Koordinaten der Ecken
des entsprecienden Dreiecks auf der Flaiche x, y, z; x + ldt5, y ~ mdt,
z+ndt; x + Adu, y + p&du, z + vdut, und aus der Kongruenz der
Drejecke ergeben sich fUr 1, m,; A, g, v die drei Bedingungs.gleiciu ngen:
l1+ 2~m2-n21 Z2 +pit+ v2- I; )+ mg + nv =O.
Dies sind also die analytischen, notwendigen und hinreichen

1) N. C.'P. XVI. 1771, p. 3-34. 2) VgI. S. 457.