Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

Euler geht hier darauf aus, die dureli,,figurae ta-ntopere complicatae,
et propemodum inextricabiles" hergeleiteten Formein auf eiufacherem,
Wege zu gewinnen, wobei die Hilfsmittel der sph'airischen Trigonometrie benutzt werden. Urn keine der drei Aclisen zu bevorzugen,
wird die Bogenhinge s der Kurve als Parameter eingefifihrt und
mit p, q, r die Ableitungen der Koordinaten nach diesem Parameter
bezeichnet, so daB:
dx = pds; dy z —qds; dz =-rds
ist. Es muB dann sern:
-p2 +-q2+r2 ---1; pdp+qdq+rdr=O. (1)
Ferner, wenn ds als konstant angesehen wird:
d&x=dpds; d~y-==dqds; d 2Z-~drds.
Euler denkt sich nun (Fig. 55)
q ( ~~~~~urn einen Kurvenpunkt Z(x, y, z)
eine Kugel vom Radius = 1
p ~~~~~~beschrieben, die von der Tangente
in z geschnitten wird, wiilirend die
Z S ~~~~durcb Z gehenden Parallelen zu
den Achsen einen Oktanten a, b, c
bestimmen. Es ist dann
/ 7 ~~~~~~~~~~~~cos a z =p;
w~sin az V 2 ' (2)
Das sph'uirische Lot von~zauf bcist
das Komplernent von az, und zugleich
der iNeigungswinkel der Tanlgente
II gegen die yz-Ebene. Ferner ist
Fig. 55 nach bekannten Siitzen der Trngonometrie:
sin baz= -
also:
cos baz= ~ (3)
Es sei nun dureb Z audi noch eine Parallele zur Tangente des
Nachbarpuinktes gezogen, weiche die Kugel in z' schneidet, dann ist.):C zZzs' der Kontiingenzwinkel (im heutigen Sprachgebraueh), der

K ritm mu n gs rad i us B =- I und die durch den Bogen z z' gelegte
z