Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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I'Vokischnitt XXIV.

mit der Kurve wieder auf dieser senkrecht stelit, und daB
Xx konstant ist. Euler nennt deshaib diese Kurven,orbiformes".
Urn nun die Gleichung einer dreispitzigen Kurve aufzustellen,
geht E ul er aus von der Gleichung einer orbiformis und. nimmt eine
beliebige Normale Ef zur x-Achse; die konstante Lunge Elf wird mit
2f') bezeichnet. Ist nun 7M1m eine beliebige zweite Normale, und. sind
von M und. m die Lote 1MM, und mm, auf If gefdllt, ist ferner:
FlMiE1=X; MM,1= Y; Fm1 = x; inmlm y
endlich
dY~ dy
dX ';dX
so ist zuniichst P =_p. Ferner liit sich leic~ht zeigren, daB:
Y y 2f x _ 2 fp
Setzt man:
X+x=2Q; Y+y==2B,
so wird.
X= Q-_f- Y-R~ (I)
x Q + fp y B f(2)
Da (1) und. (2) sich nur durch das Vorzeichen der Wurzel
unterseheiden, und. dieser Untersehied. v erschwindet, sobald rational
gemacht wird, so k~nnen (1) und (2) als gleicliwertig angesehen
werden. Differenziert man (1) oder (2), und setzt man d Y pd X
und dy = p dx emn, so ergibt sich dB = p dQ, also
R fpdQ. (3)
Ist also Q eine beliebige Funktion von p, fUr weiche die Integration in (3) ansfiflirbar wird, so steilt (1) oder (2) in Verbindung
mit (3) die Koordinaten einer orbiformis als Funktionen des Parameters p dar. - Urn nun die Gleichung der dreispitzigeu Kurve, d. h.
der Evoluten zu finden, werden die Gleichungen dureli eine Hilfsfunktion S fQdp etwas vereinfaclit. Man erhiilt nuamlich aus (2):
dS fp pdS f
Da' die Kurve gesehiossen sein soll, x und y also keinen unendlichen Wert annelimen kannen, so darf auch S nicht unendlich werden.
Ist also z. B. S von der Form:
S =ao + alp + a~p5 + + ampm

1) f hat also hier eine andere Bedeutung ala, vorher.