Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

bei sich das scheinbare Paradoxon herausstellt, dal3 es eine Kurve
gibt, ffur weiche dieses Integral einen noch kleineren Wert annimmt.
Euler findet die LO-sung darin, daB jenes Minimum nur emn relatives
sei, ebenso wie etwa emn Minimalpunkt einer Kurve nur den kleinsten
Wert gegenilber den benaehbarten Ordinaten, nicht den kleinsten
Wert liberhaupt bestimmt.
Die vierte 1st betitelt:,,Solutio problematis ob singularia calculi
artificia memorabilis"') (22. M'irz 1779). flier 1st die Aufgabe, eine
Kurve so zu bestimmen, daB das Integral fiber dem. Produkt aus dem
Linienelement und einer beliebigen Funktion des Radiusvektor z, also
fs. f(z) emn Minimum oder Maximum wird. Setzt man
f~z)=v;dv dy
v;!q; d Pc~
so ergibt sich als Differentialgleichung:
ydx - xdy (vzdp
Die,,siugularia artificia"' bestehen nun darin, daB die Gr6ii&e
— =tgq; p tg w;
eingefiffhrt werden, wodurch sich ergibt:
dp dz
(n ist Jntegrationskonstante). Charakteristisch fUr Euler ist die
Schiul~bemerkung, daB er nie auf diese artificia gekommen wiire, wenn
er niclit die Lo-sung schon auf anderem. Weg gehabt h~itte, niimlich
durch Einfflhrung von Polarkoordinaten.
In einer fiinften Abliandlu-ng:,De duplici genesi tam epicycloidum.
quam, hypocycloidum"12 ) beweist Euler einen von Dan. Bernoulli')
herrillrenden Satz, daB jede solehe Kurve auf doppelte Art erzeugt
werden kann. Ist niimlich a der Radius dos festen, b der des rollenden
Kreises, so kommt, fUr b < a, dieselbe Kurve heraus, wenn b = + ~
a - C
und b = - 2 ist, wo c eine beliebige Strecke < a ist. Ist b > a,
so wird bei innerer Bertilirung fair b = a + c dieselbe Kurve beschrieben, wie bei 'RuBerer fUr b == c.
IDber eine 1779 ersehienene Selirift von Nicola Fergola
1)M. P. II (1810), p. 3-9. 2)A. P. 1781, I, p. 48-59. )INach
Loris (Spez. Kurven, S. 483). S. dort auch n~theres hierfiber.