Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Hbhere ebene Kurven.51

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entsteht, wenn man auf alien ialabmessern einer Ellipse von der
Peripherie aus gleiche Stileke abtragt.
Es folgen null in chronologischer Ordnung wieder einige kleinere
Arbeiten von Euler. Die erste:,,Problemnatis cuiusdam geometrici
prorsus singularis evolutio"1) suclit eine Kurve so zu bestimmen, daB
die Normale den Winkel zwischen der Tangente und einer festen
Geraden halbiert.
Die zweite heil~t:,,De eurvis hyperbolicis qnae intra suas asymtotas spatium finitum includunt"2) (13. Februar 1777). Sie geht aus
von der Bemerkung, dal3 keine ilyperbel von der Form xm"yn == c die
im Titel genauante Eigenschaft besitzt, und untersuclit nun, ob dies
vielleicht fUr Kurven von der Form axa0y' + bx~yy -: c der Fall sei.
Vorausgeschickt wird em llulfs satz aus der Theorie der bestimmten
Integrale, niimlich daB das Integral endlich ist, wenu
0
nk > (m + 1) > 0 ist. Dieser wird auf zwei Arten bewiesen und
bildet die Grundlage fair die ilerleitung folgender Resultate:
Alle hyperbolischen Kurven von der spezielleren Form:
axayil + bxrlya - c
schije~en zwischen ihiren Asymptoten einen endlichen Raum eim, wenn
folgende dre i Bedingungen erfililt sind: 1. a, b, c mflissen alle drei
positiv sein, 2. cc und (3 mniss-en beide positiv sein, 3. cc darf -nicht
= sein.
FUr Kurven von der ailgemeineren Form
axay~ +I bx~y6 -= c
gilt dasselbe, wenn 1. a, b, c alle positiv sind, 2. wenn cc, /,y
alle positiv sind, 3. weain von den Briichen ~-und -Y der eine > 1,
der andere < 1 ist.
Fir Kurven der ersten, spezielleren Form gelingt unter den angegebenen Bedingungen die Bestiinmung des in Rode stehenden FlIjeheninhalts, wenn a + ( 1; er betriigt niimlich. 2 a 3
Die dritte hei~t:,,De insigni paradoxo, quod in analysi maximorumn et minimorum oceurrit"3) (31. Mai 1779). Es handelt sich darum,
-eine Kurve zu finden,2 fUr welehe fs /x- emn Minimum wird. Dieselbe wird nach den Methoden der V.ariationsrechnung bestimmt, wo0
') N. C. P. XVI (1771), p. 140-159. ~)N. A. P. VIII, p. 116-139.
M). P. H11(1811), p. 16 -25.
CAN I OR, Geschichte der Mathemnatik IV. 34