Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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512 ~~~~~Abschnitt XXIV.

wonnenen Kurvenpunkte gleich sind, daB aber das Urngekehrte niclit
gilt, d. h. daB die Kurven mit konstanter Subnormale der gesteliten
Bedingung niclit entsprechen. Bezeichnet man nun diesen konstanten
Wert der Subunormalen mit t, so k~nnen die Abszissen der einzelnen Punkte so ausgedrflckt werden: x = "~+ T, wo t und T
Funktionen von sin qp und cos (p bedeuten; waichst also purn 2zr, so
wiichst x urn t. Da nun t die Subnormale bedeutet, so ist yd-__t
dx_tdqp + cpdt
also!j2P= 2j tdx, wilihrend dx 2 - + dT ist. Setzt man
diesen Wert eim, soflt _2 t + iftdT+2ftdT. In iihnlicher Weise werden dann noch andere Aufgaben dieser Art behandelt,
z. B. daB QB2 _ ~JQ2 konstant sein soil; daB die Subnormalen eine
arithmetische oder geometrische Progression bilden sollen.
Eine Kurve, von der sich ebenfalls zun~ichst bloB diskrete Punkte
bestimmen lassen, ist y = x! Dieser hat Euler eine Abliandlung
gewidmet:,,De curva hypergeometrica hac aequatione expressa:y 1. 2 3. 4. x".1) Die Gleichu-ng ergibt zuniichst nur Ordinatenwerte fur ganzzahlige Abszissen; ffir gebrochene ist sie so umzuformen, daB sie ffir beliebige Abszissen brauchbar ist, und natlirlich
fair gauzzablige mit der ursprflnglichen Gleichung ijbereiinstimmt.
llierbei ist die Bemerkung von Wert, daB mit einer beliebigen Ordinate auch diejenige bekannt ist, die zu eiuer urn 1 grrUeren oder
klieneren Abszisse geh~rt, wie ja leiclit zu sehen ist. Es geniigt also,
den Verlauf der Kurve irn Abszissenintervall 0 his 1 festzustellen.
E uler gibt hierftir versehiedene Entwicklungen, die zur Bestimmung
von Tangente, Normale, Kriimmungsradius usw. benutzt werden. Als
Koordinaten eines Minimalpunktes ergeben sich dureli emn Aunnherungsverfahren: x == 0,46163214471; y == 0,8856031945, wozu Euler
bemerkt, es sei nicht gelungen, irgeudwelehe Beziehungen dieser Werte
zu bekannten irrationalen oder transzendenten Zahlen aufzufinden.
Eine dritte Abhandlung U-ber derartige Kuirven, von clenen zun~ichst nur diskrete Punkte gegeben sind, rifihrt von F o ntan a her:,,Sopra 1'equazione d'una curva. Sopra la falsita di due famosi Teoremi, e sopra la serie armoniche a termini infinitainente pic-cioli".2)
flier interessiert uns nur der erste Teil der Abhandlung, der folgender Aufgabe gewidmet ist: Auf dem einen Schenkel eines Winkels
QA B 1st in B emn Lot errichtet,7 das die llalbierungslinie des Winkels
1 N. C. P. XIII (1768), p. 3-66. 2) MeM. mat. fis. Soc. Ital. (1784),
T. II, p. 1 3-141.