Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

HMhere ebene Kurven. O

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Kurvenschar, cleren Trajektorie gesucht wird, den Parameter noch enthailt; in der zweiten der oben genannten Abhandlungen sagt E ule r
sogar geradezu, eine Kurvenschar koinne definiert sein dureli eine
Differentialgleichungr mit einem Parameter. - Unter dieser Anunalime
untersucht Euler die versehiedenen. FRIlle, die sich ergeben, je nachdern die Gleichung der Kurvenschar nach einer der Variabein oder
nach dem Parameter auflisbar ist. Die Theorie selbst wird jedoch
in keinem wesentlichen Punkte weiter gefdrdeit, nur der Satz tritt
wohi hier zum erstenmal auf:, daB die Bedingung fuir die Orthogonalitiit zweier Kurvenscharen F(x, y, p) == 0 und D (x, y, q) = 0 gegeben ist dureli die Gleichung axax + 0 =0 0; um die hier aufWP aq aJ)Dq
tretenden Differentialquotienten bilden zu k~innen, sind aus den Gleichungen der Kurvenscharen x und y als Funktionen der Parameter p
und q auszudriicken.
Einen entschiedenen Fortschritt gegeniiber diesem Standpunkt
bedeutet die Arbeit von Trembley (1749-1811, erst Jurist, daun
Mathematiker, von 1794 an in Berlin, Mitglied der Akademie):,,Observations sur le probleime des Trajectoires".') Hier wird die Aufgabe mit
Yoller Kiarheit angefa~t und durchgefflhrt, unter Bezugnahme auf Eulers
Ver~Sffentlichunagen, die T rem ble y als einen,,calcul assez prolixe" bezeichnet. Er macht auch auf den llauptfehler aufmnerksam, niimlich auf
die falsehe Auffassung des Parameters, bzw. der Integrrationskonstanten,
uind zeigt, wie man aus der Gleichung einer Kurvensehar F(x, y, cc) == 0
mit dem Parameter cc ihre Differentialgleichung findet, indem.
man sie differenziert und den. Parameter eliminiert, was freilich bei
der praktischen Ausfiflirung manche Schwierigkeiten bietet. Aus der
Differentialgrleichung ergibt sich dann die der Orthogronaltrajektorien,
dx
indem mian mit - d- vertauscht. Die Methode wird an einigen
dx dy
Beispielen durehgef~fhrt und auf schiefwinklige Trajektorien ausgedehnt.,,De traiectoriis reciprocis tam rectangulis quam obliquangulis" ist
der Titel einer Abhandluug von Euler in den A. P. 1782, II, p. 3-33.
Die hier betracliteten Kurven sind von etwas anderer Art, als die
Isogronaltrajektorien. Es handelt sich niimlich darum, eine Kurve zu
finden, die, um eiue Gerade umgeklappt und parallel mit dieser verschoben, ihre ursprflngliche Lage immer unter demselben Winkel
schneidet. Euler hehandelt hier die schon vona Joh. Bernoulli und
'von ihm selbst geltiste Aufgabe 2) in allgenmeiner Weise, und leitet
algebraische Kurven dieser Art her.
1)Nouveaux Me'moires de l'Acad. de Berlin (1797), p. 36-83. 2) Siehe
'(lugel, V, p. 113ff