Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

MThere ebene Kurven.50

501

Der Gang der Untersuchung ist im ganzen iihnlich wie in der
Arbeit von Euler, die Bezeichnungen sind indes etwas anders gewiihlt. F uB ffllrt auBer Polarkoordinaten (z, ) ebenfalls das vom
Pol auf die Tangente gefiillte Lot t und pei.DeF kto
dx m ieFnto
Foil z, die dem. Kriimmungsradius gleich sein soil, heif~t Z. Es werden
dann, meist auf differentialgeometrischem Wege, folgende Relationen
hergeleitet:
drpF= tdz -.(2)
zI/iz 2 -Setzt man in (2) fiir t seinen Wert aus (1) emn, so ist die Aufgabe auf die Ausfillruing von zwei Quadraturen zuriickgefiilirt. Nun
werden Spezialfiflie, beliandelt, und zwar
1) Z == nl2. Die Integration wird bewerkstelligt dureli Einftihrung des Winkels, den die Tangente eines Kurvenpunktes mit dem
in diesem. Punkt auf dem. Radiusvektor erricliteten Lot bildet, und
der mit 2 Ap bezeichnet wird. Es ergibt sich dann (mit a und C als
Integrationskonstanten):
a 2 dip_
Z 1-j-n cos 2Vp' (3)co 2
und fUr den Bogen s
n 2a -sin 2V na
8- = _l~1+no2i + 1 p + 2ip - C). (4)
Aus (4) folgt, daB diese Kurven rektiflzierbar sind. Das Integral
in (3) nimmt versehiedene Formen an, je nachdem. n =1, n < 1,
n > 1 ist, niaimlich:
fMr n =- 1
qp= C - 24'+ tgip,
fUr n < 1
=C - 2ip, + Vi- arctg Kj g jjVt
ffir n > 1 __
1_ H1/+ n tgip
C - 2zp-+log
Diese Fiille werden der Reihe nach entwickelt; am interessantesten ist eigentlich der erste, weil. hierunter auch der Kreis fiillt.
Es ergibt sich einae Kurve, welche die zweite Evolvente eines.
Kreises vom. Radius a ist. Beschreibt man nilmlich (Fig. 43)
einen Kreis mit Radius a (Mittelpunkt A), konstruiert dessen Evol33 *