Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

Fir Werte von g zwischen g und h wird die Kurve imaginlir, ebensco
fair z <f Die Kurve zerfiillt also in zwei getrennte Zweige, von
denen der eine auBerhaib des Kreises mit Radius k, der andere
zwischen den Kreisen mit den Raden f und g liegt. In den Punkten,
wo z = f, z == g, z =- h ist, steht der Radiusvektor auf der Tangente
senkreeht; fMr z == 1 berlllirt er die Kurve.
Auf Grund a-hulieher U~berlegungen wie im ersten Fall findet
Euler die in Fig. 42 angedeutete Gestalt der Kurve, wobei g=
h = —3 j/3 a _ a an ngn r + 1- ist. Hierbei ist also
logS un3 ~ agnhr 3 a + 3
CF f; Cg=CG g; CHII h; CE = e; CA =l-. Die Symmetrie
zur Aclise wird diesmal berticksichtigt. Der
iluBere Zweig veriliuft ilhnulich, wie die Kurve
im 1. Fall f(Ir groBe Werte von z. Die Anzahl der Windungen des inneren Kurvenzweiges hingt vom Verhiiltnis der -~C EC~g
F~ ~~~f zu 3600 ab. E uIe r bemerkt, noch, daB dieser
A~7 Winkel urn so kleiner sei, je mehr f u-nd g
sicb dem gemeinsamen Wert 1 uiihern, und
urn so grU~er, je melir sich g und h dem
/ gemeinsamen Wert e nillern, u-nd folgert
daraus, daB fuir a == e, in welchem Fall auch
Fig. 42. g und h = e werden, dieser Winkel ECg
unendlich groB werde, d. h. daB die Kurve,
erst nach unendlieh vielen Umdrehungen den Kreis mit Radius e erreiche, urn danan in den iluBeren Zweig Uberzugehen. Schliel~lich
rnacht Euler darauf aufrnerksamn, daB3 der Kreis mit Radius a, der
ja offensiclitlich der Gleichnug z =_- geniigt, gar nicht auftritt, und
a
bemerkt:,,isturn casurn quasi per divisionem e calculo expulsum fore".
Die hier behandelte Frage ist emn spezieller Fall eines allgemeinerein, die FuB untersucht iin einer Arbeit vom 24. April 1788:,, Solutio problematis ex methodo tangentium inversa" 1). F uB knllpft
hier an emn Paradoxon an, niimlich daB alle Kurven, deren KrUmmungsradius gleich dem Radiusvektor ist, sich rektifizieren
lassen, und daB dies ftir den Kreis (der doch sicher auch zn
diesen Kurven geh~rt), bekanntlich nielit zutrifft. Er sucht nun
zu einer LsUung dieses Paradoxons zu gelangen, indem er sich die
Aufgabe steilt, alle, Kurven zu finden, deren KrUmmungsradius eine
gegebene Fnnktion des Radiusvektor ist 2).
1) N. A. P. IV, p. 104-128. 2) Mit dieser Aufgabe hat sieli auch schon
Jacopo Riccati beschiiftigt. S. Loria, Spez. aig. u. transcend. Kurven, S. 630.