Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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494 Ab~~~~~~~~1- /-schnitt XXIV.

Die Integration liefert unter Beerlcksichtigung der Anfangsbedingungen:
t = aePIetP) p= jtdT (a~ ~) (4)
wo die vom. Ursprung an die Kurve gezogene Tangente CA = a ist,
und a und j3 den Gleichungen, genfigen:
a+/=; c3l
Die Reellitalt von ac und (3 hiingt also davon. ab, ob n 2 ist. Es
sind also bei der Diskussion der Kurve drei Fflhle zu unterseheiden:
1) n > 2, a und (3 sind reell (Fig. 37). FU~r wachsende Werte
von ep wird t und damit nach (2) auch r immer grdBer; die Kurve
zielit sich also in imamer weiteren Windungen urn den Punkt C herum,
Nimrnt (p ab und wird negativ, so gibt es schliefflich einen Wert, niimlich
- 2 log a
cc -
wo 1, und damit r, versehwindet. Daraus ergibt sich, daB der
entsprechende Kurvenpunkt E emn Rtickkehrpunkt ist (da r == )
dessen Normale dureb C gelit (da t = 0). Von diesem Puiikte ab
niihert sich die Kurve asymptotiseb dern Ursprung C,
Aund es ist Bogen CE == Bogen AE. In der Niihe von
C und im Unendlichen nillert sich die Kurve der logarithimischen Spirale. Denn ist 4# der Winkel des Radiusvektor gegen. die Kurventangente, so ist
also lirn tg~~- 3 und irn tg4~a
2) Fall n == 2. In diesema Fall ist a (3 aus (3)
Bfolgt t = a(1 + 9) e(P; p == a peT; tg # ----. Irn
Riickkehrpunkt ist 9,p 1. Die logarithmisehe Spirale,
Fig. 37. der sich die Kurve asyrnptotisch ulihert, bat den Winkel 450 '
3) Fall n < 2. Hier werden a und (3 konjugiert imaginlir und
an Stelle der Exponentialfunktion treten goniometrisehe Funktionen.
Setzt man ac == -I- iv; (= -iv, so wird:
a a ep' p sin vp
t ye'"P(It sin v 9,+ vcos v 9); p=
Die Bedingung ffur den Rflckkehrpunkt (t= 0) ist hier tgv 9,= -h-dese
ist aber fUr unendlich viele Werte von 9, erfiflit, also hat die Kurve
unendlich viele Spitzen.