Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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AUDschnitt XXIV

nun die gesuelite Kurve dar; sie ist algebraisch, weunn emne
rationale Zahi ist. An diese Formein schlielft sich eine Diskussion
der Kurve, die als wichtigste Resultate folgende ergibt: der Kr tm -
rnungsradius ist I'= -bbj cosft; daraus folgt, daB emn Wendeb bcs
p u nkt auftri tt fUr cosw =v b- also z =- -b (Daraus folgt, daB
2 2
emn soleher nur auftreten kann, wenn b < 2 ist, weil sonst < Kb - 1
wtirde, was nicht m~iglieh ist.) Die Amplitude') ist ac w -H (p.
Auf Grund der entwickelten Formeln wird noch emn Zahlenbeispiel
(b == bereehnet, und der Verlauf der Kurve gezeichnet; sie hat
etwa die Gestalt einer Lemniskate mit ungleichen Sohleifen. Schije8 -lich wird noch bemerkt, daB der von einem, bestimmten Punkt ab
geinessene Bogen gleich dem, Arkus des Winkels zwischen dem. Radiusvektor und der Tangente im. Endpunkt des Bogens ist.
W~ihrend es sich in den Arbeiteni, fiber die vorstehend bericlitet
wurde, urn Vergleichung vone Bogenliungen versehiedener Kurven
handelt, sind nun einige Abliandlungen zu nennen, in denen Beziehungen zwischen Bogenliaingen und Tangrenten, Normalen usw.
einer und derselben Kurve untersuclit werden. Unter diesen ist
der Zeit nach die erste eine Verdifentliehung von P io F an t oni
(1721-1804, Wasserbaumeister in toskanischen Dienstena, Mitglied
des Instituts von Bologna):,,De problemate quodam algebraico, deque
evolutione mechanicae cuiusdam, eurvae inter infinitas hypermeehanicas,
quae determinatae aequationi saltisfaciunt"2). Die Aufgabe, die Fanton i als,,Problema algebraicum" bezeichnet, ist folge-nde: Ei-ne Kurve
so zu finden, daB das StUck der Taugente zwischen dem. Bertihfrpunkt
und dem. vom. Koordinatenanfaugspunkt auf sie gefluliten Lot konstant sei. Als Differentialgleichung der gesucliten Kurve ergibt sich:
__ J/dx~tdy2
dx dx
Die Integration wird zunaichst in rechtwinkligen Koordinaten ausgefiihrt, wobei der Differentialquotient als Parameter auftritt; es
ergibt sich eine ziemlich komplizierte Formel, die sich aber wesentlich vereinfacht dadureli, daB als Koordinaten der Radiusvektor z7
und der von ihm. und der x-Achse begrenzte Bogen u eines Kreises
von gegebenem. Radius ==a eingeftihfrt werden, also Polarkoordinateni

') Vgl. S. 480. 2) Phil. Trans. Vol. 57 (1767), p. 338-371.