Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

HMhere ebene Kturven, 9

491

Kurven. Die zweite LUsung, die gegeben wird, benutzt keine WinkelgriBen, ist aber in ihirem Resultat niecht wesentlieli von der ersten
versehieden, die auch fair die Anwendung bequemer ist. Setzt man
z. B. Q ==0, so ergebena sich Kurvenpaare von der Eigenschaft, daB
der Radiusvektor der einen Kurve gleich der Ordinate der anderen
ist. Dies wird angewendet auf Parabel und Ellipse. Aber auch hier
ergibt sich dureli Spezialisierung fUr den Kreis als zweite Kurve
eben wieder der Kreis. Trotzdem gelangte E uIe r sp~iter im. Zusammenhanga mit diesen Untersuchungen zu einer L~sung der
frtiller (s. S. 488) von urn fair unm~iglich gehaltenen Aufgabe,
Kurven zu finden, deren B~gen sich dureli Kreisb~5gen ausd rUe ken lass en, abgesehen vom Kreise selbst. Seine Arbeit hierfiber ist am gleichen Tag xvie die letztere der beiden vorigen der
Akademie vorgelegt worden. Sie fiflirt den Titel:,,De curvis algebraicis quarum omnes arcus per areas circulares metiri licet" 1). In der
Einleitung kommt Euler auf seine frdhler (s. S. 489) aufgestellte
Behauptung zurilek, daB es keine solehen Kurven gebe, und gesteht,
mit der fair ihn charakteristischen Offenheit emn, der llauptgrund fdr
jene Behauptung sei gewesen, daB es jim trotz aller Anstrengungen
nicit gelungen sei, solche zu finden; er nirnmt sie hiermit feierliehl
zurilek (,,solemniter retractans"). Sein Verfahren, urn Kurven der genanuten Art zu. finden, ist nun folgendes: Es sei w emn Bogen einesa
Kreises vom Radius = 1; die Gleichung der Kurve soil in Polarkoordinaten (z, (p) aufgestellt werden; dann mul3 sein.
dz2 + z'dT' dw2
oder
dcp -ydw 2 -dz
Die Aufgabe ist also einfach, z in Funktiou von (p so zu bestimmeni,
daB das Integral der rechten Seite einen Kreisbogen ergibt, d. h. sich
durch zyklometrische Funktionen ausdrflekeii Iii~t. Dies ist nun sehr
einfach m6gliei, weu-n z == b + cos w gesetzt wird, wo b eine beliebige
Konstante ist. ilierdurci erhuilt man:
Urn dies Integral auszufflbren, setzt man t = tg Tw und erhUlt:
2b b -i
(P == W ~ arctg
Diese Gleichung in Verbindung mit t == tg w~ und z =b +j cos w steilt
1)M. P. XI (1830), p. 114-124.