Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

HMhere ebene Kurven.48

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rum longitudinem per arcus hyperbolicos metiri licet"1) dureli Emnflllirung hyperbolischer Funktioneu. - Auch diesmal hat E ul er
der Aufgabe spaiter (20. August 1781) eine zweite Arbeit gewidmet:,,De curvis algrebraicis, quarum longitudo indefinita arcui
elliptico aequatur" 2). Er kniipft hier an die Formeln (6) an, und bemerkt mit der liebenswtirdigen Offenheit, mit der er stets seinen Gedankengang klarlegt, daB er zufiillig (casu) darauf gekornmen sei.
Die Arbeit bestelit im wesentlichen in einer Veraligemeinerung der
vorlier gefundenen Resultate. Audi einen schwierigeron Fall des allgemeinen Problems ds = Vdv hat Euler belhundelt (17. Juni 1776):,,De innumeris curvis, algebraicis, quarum longitudo exprimitur hac?-1I
formula integrali Jv 2 dv".Y) Das Problem wird gel~st und ausgedelint auf den allgemeineren Fall
S V~n (a + bV2,n+ cv4,+dV6n+.) dv.
Wieder einer Aufgabe aligerneinerer Natur, die in diese Gruppe
geho-rt, sind zwei Arbeiten von Euler gewidmet, ujimlich:,,De binis
-curvis algebraicis inveniendis, quarum arcus indefinite inter se sint
aequales"4) (20. Juni 1776) und:,,De binis curvis algebraicis eadem
rectificatione gaudentibus" 5) (20. August]1781). Jede der beiden 1R-st,die Aufgabe auf zwei versohiedene Arten. In der ersten nimmt
Euler die beiden Kurven in Parameterform gegeben an:
X = p(Z) V q (z); x =p(z) -qz)
Die Forderung, daB die Linienelemente beider Kurven gleich
8eien, ergibt fMr die vier Funktionen p, q, r, s die Bedingungsgleichung:
p'q' r s.
Urn dieser Gleichung zu genllgen, fillirt Euler zwei neue Funktionen u und v von z emi die mit den ersten dureli die Gleichungen verbunden sind:
Vf ~UV
Damit ist die Bedingungsgleichung erftillt, und Koordinaten der beiden
iKurven sind dargesteilt durch:
1) N. A. P. XIV (1806), p. 111-138. 2)M. P. XI (1880), P. 96-99.
2)N. A. P. VI, p. 36-62. 4)Ebeinda, IV, p. 96-103. r5) M. P. XI (1830),
p. 102-113.