Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

FZ = FiX ab, danin ist der geometrische Ort von Z eine Kurve der
gesueliten Art, deren es also unendlich viele gibt, da n beliebig angenommnen werden kann. Der Beweis ergibt sich leicht aus der angegebenen Konstruktion.
Eine weitere Abbandlung vom 10. Juni 1776 behandelt dieselbe
Aufgabe fuir Ellipsenbdgen; sie heil~t:,,De innumeris eurvis algebraicis
quarum longitudines per arens ellipticos metiri licet"'). Hier soill also
das Linienelement von der Form sein
ds ==dvj/1L(j2~V. (4)
Dieser Forderung wird,geniigt, wenn:
(V (+ q) dv. dy_ (p - q)dv
ist, wobei p und q Funktionen von v sind, derart, daB
p2 +q2 -2pqv = 1 + (n2-_ 1) V2.
Dadurch werden die Gleichungen (4) integrabel und liefern algebraisebe Gleichungen. Z. B. ergeben die Werte _p =1 v (n + 1
eine Kurve 6. Ordnung. Auch hier lassen sich dureh Einfifihrnng
von Winkeln die Gleichungen umiformen, und Euler ermittelt fobgende Lbsung der Aufgabe:
2x == n +sin [(I -F l)qj] n- sin [(A - 1
2 y n4jcosL(+ -1- l(p - sin[(U. - 1) (6)
wo A eine rationale Zahl sein muf3, weun die Kurven algebraisch
sein sollen. Die dureli (6) dargesteilten Kurven sind Epi- und Ilypozy~kloiden. Auffallend ist das Resultat fair n = 1; in diesem Fall
stellt (4) das Linienelement des K rei se s dar, (6) aber den Kreis
selbst. Euler sah sich dadurch verainlal~t, den Satz auszusprechen,
daB es auBer dem Kreis selbst keine Kurve gebe, deren
Bogen sich durch Kreisbodgen messen lasse (vgl. unten S. 491),
unterlieB es aber nicht, die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf
das S. 486 formulierte ailgemeine Problem zu lenken. Auch fiihrt
en am SchluB dieser Abhandlung noch an, daB es ihm niclit gelungen sei, diese Aufgabe wie fair Ellipsenb6gen, so auch fair
Hyperbelbo~gen Zn 1iisen. Dies leistete spaiter FuB in einer Abliandlung vom 28. Juini 1788:,,De innumeris curvis algebraicis qua1)N. A. P. Y, p. 71-85.