Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Hthere ebene Kurven.48

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dx P sinq9+ Q cosq; y-= P cosq'9- Q sin T9
d-V ~~~ — dv (3)
Nach diesen aligemneinen Bemerkunagen wird wieder auf die spezielle
Aufgabe, wo also V J /1-+ V2 sein soil, zuriickgegriffen, und gezeigt,
daB diese Forderung erfilult ist, wenn in (1) U eine beliebige ganzzahlige
Wurzel von v ist; die Beispiele U == v, U =- J/v- werden durchgefiihrt.
Ebenso MUl~ sich aus (3) eine spezielle LUsung herleiten, wenn P = 1,
Q ==v gesetzt wird; es ergibt sich so:
dx=dvsinT+ vdv cosTp; dy~dvcosp-vdvsincp.
Setzt man bier noch v ==sin#4, so macht die Beziehung T == A fr die
Gleichungen integrabel und liefert algebraisehe Kurven, wenn A einae
rationale Zahi ist: Schliel~lich wird noch eine dritte, allgemeinere
L~5sung hergeleitet, niimlich
2 ____+
4x=-~~co )~~+2 cos~a+(1~2)-1 o [] + 2
2.~~~~
+ sin~a + ( )#]wo cc emn beliebiger Winkel, A~ eine rationale Zahl exkl. + 2 ist.
Die gleiche Aufgabe hat Euler in einer spiliteren Arbeit vom
20. August 1781 wieder aufgenommen, fiber die deshalb auch gleich hier
berichtet werden m6ge. Sie heiBt: De innumeris curvis algebraicis
quarum. longitudo arcui parabolico aequatur 1). Er gibt dort folgende
elegante Konstruktion einer soichen Kurve: Es sei AB == BC 2 a
der doppelte Parameter der
Parabel AC, AD eine zu ihr -D
symmetrische, die mit ihr
Achse und Scheitel gemein V
hat; n sei eine beliebige Zahi.
Mache nun FG 2a G-v
parallel der Aclise und gleich
eiuer beliebigen Ordinate XY; Fig. 34.
A VFG sei = —. Lege in
F an AF einen Winkel =- n4Y an, und trage auf dem Schenkel desselben

1) M. P. XI (1830), P. 100-101.