Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

486

Abschnitt XXIV.

Konstanten abgesehen, bestimmt, und daher sind sowohi A'BC' als
AD C Zweige der Integralkurve. Ferner ist die Ordinate y, naclidem.
sie durch Angabe ihres Wertes far x = 1 bestim~mt worden ist, eine
seehswertige Funktion von x; dasselbe kann man von s sagen, da die
reebte Seite von (6) mit doppeltem. Vorzeichen behaftet werden. m~ul,
Die BogenlIinge s bildet eine auf der die Funktion y von x darstellenden R i e m a nn schen Flche regulaire Funktion; x =- 1 ist ein
Verzweigungspunkt dieser FhIche, und an diesem. Punkte kann der
Ubergang von einem. zu einem. anderen Fnnktionszweige sowohi von
y ais von s stattflnden. Dadureli kann man sich von alien scheinbaren Unregelmdi13igkeiten Rechensehaft geben.
Die Sehwierigkeiten, welehe die Rektifikation der meisten Kurven
bietet, seheinen Euler dazu veraniaBt zn haben, Kurven zn suchen,
deren Bogenlinge sich angeben, oder wenigstens dureli diejenige bekaunter Kurven ausdrllcken. lI'alt, oder, wie Euler sagt, die durch
die Bogenliingen bekannter Kurven,,meBbar" sind. Dieses Problem
kaun') als eine Verailgemeinerung der gewo~hnliche-n Rektifikation
angesehen werden, bei der es sich ja einfaeh um. eine,,MeBbarkeit"
durch geradlinige Streeken handelt. Euler hat solchen Fragen verschiedene Abhandlungen gewidmet; die erste hei~t:,,De innumeris
curvis algebraicis, quarum. longitudinem. per areas parabolicos metiri
licet" 2). Die analytisehe Formulierung dieser Aufgabe ist: x und y
als Funktionen eines Parameters v so darzustellen, daB:
ds=j,/dX2 + dy 2==dv 1+v?2
wird. Euler nim~mt zuniiehst die aligemeine Aufgabe in Angriff,
daB das Bogenelement ds dem. Differential einer beliebigen Funktion
von v gleich werden soil, also ds == Vdv, und versucht, oh foigende
Gleichungen das Problem zu lisen verm.8gen:
dx_ PIIA+U-QJ/-B —U dy PJ/B-U+QJ/A-+U(1
Y/A +B 'dv V +
wo P, Q, U Funktionen von v, A und B Konstanten sind. Dies ist
der Fail, weun
P2 +Q2 =17 (2)
ist. Dieser Gleichung mllissen also P? und Q genftgen, und dann ist
U so zu bestimmen, daB die Gleichungen (1) integrabel werden.
Zu diesem. Zweek ftihfrt man statt U einen Winkel (p, der also gleichfalls eine Funktion von v ist, emn, und setzt:
1) Nach einer Bemerkung von Herrn Vivanti, vgl. FuBnote S. 476.
2)N. A. P. V, p. 59-70.