Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

HMhere ebene Kurven.48

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vorausgesetzt, daB s == 0 fuir z =- 0 ist. Betrachtet man also den
Bogen BA als positiv, so muB man den Bogen BC als negativ ansehen.
llierdurch wird jedoch d'Alemberts Bedenken keineswegs erledigt; aber noch mehr: Mascheroni entdeckt emn neues Paradoxon.
FU-r x > 2 1st die Kurve imagini~r; aber die Bogrenlilnge ist auch
fUr diese Werte von x reell. Die Erseheinung 1st nicht vereinzelt:
ds
jedesmal wenn l reell und < 1 ist, hat mail eine reelle Bogenhinge bei imaginiarer Kurve; denn es ist dau (dY)2
also dy imaginiir. Diese Bemerkungen von Mascheroni, weiche im.
Jahre 1790 ver~iffentlicht wurden, gaben noch in demselben Jahre
Veranlassung Zn einer Antwort von seiten eines gewissen Gio vanni
Gratognini (1757-1836), Professor an der Universit~it in Pavia.
Seine Schrift fllhirt den Titel:,,Esame analitico, d'un paradosso
proposto ai geometri dal sign. D'Alembert e della soluzione
datane dal Ch. sign. Don Lorenzo Maseheroni" (Pavia 1790); sie
gibt eine eigentnimliche L~snng des Riisels. Gratognini sagt n~imlich:,di Formel fUr die Bogenhi~nge kaun fi~ngs des Zweiges BC
niclit gelten; sie wflrde niimlich den Bogen BC, gegen seine Natur,
dnrch eine negative Grb51e ausdrficken. Man mul3 vielmehr den Ausdruck ffir ds in (5) fMr AB mit positivem, fMr BC mit negativem
Yorzeichen versehen. Desgleichen kann flir x > 2 der in (5) angegebene Wert dem Bogen nicht angehibren, well sie von der Gleichung ds2 =- dx2 + dy2 abgeleitet wurde, weiche, da im. betradliteten
Falle dy fe.hlt, etwas Chim.irisches und Bedeutnngsloses darstelit."
Einen Uhilinihen Gedanken hat Con tarel11i in einem Brief') an
Paolo Cassian i, Professor in Modena, ausgesprochen. Er sagt
niimlich, daB bei der Berechnung der Bogenlange der Bogen CD
notwendig als n e gat iv angesehen werden mndsse, da ja C emn Riickkehrpnnkt sei, und fiigt bei, daB Giordano Rice ati dieser Anschanung zugestimmt habe.
DaB alle diese Deutungen ganz ungenilgend sind, ist kiar. Die hervorgehobenen Schwierigkeiten konntena nidlit iiberwunden werden, solange man den Begriff des Ver~inderlichkeitsbereichs einer algebraischen
Funktion niclit vollstiindig beherrsdhte. lleutzutage haben die
d' Alem be r t shen Paradoxa fMr uns nielts Verwunderliches mehr.
Da die Fnnktion y von x durch eine Differentialgleichung von der
Form dy =: Pdx definiert wirci, so ist sie, von einer bloB additiven

1) Continuazione del nuovo giornale dei letterai T. 21.

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