Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

HMhere ebene Kurven.48

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Nimmt man dann fuir Q eine solehe algebraische Funktion von y,
daB mndy emn lograritlimisches Differential ist, so ist P eine algeQ
braische Funktion von y, und man hat:
(d)2~( 2 TVP2 + Q'
J~~dy~~~dy ~ d y/ix y
wo S den Bogein der Kurve (2) bezeichnet.
Schon im MI. Bande der Denkschriften der Berliner Akademie
-(1 747) hatte d'AIe m b e rt auf emn Paradoxon hingewiesen, das aus der
iBetrachitung der Kurven entsteht, die durch die Differentialgleichung:
dy ~dxV/(1 - xyi-4 1 (3),definiert ist. Zwanzig Jabre spiiter nalim er den Gegenstand wieder
-auf in einer Schrift:,,Extrait de plusieurs lettres de LPauteur sur
~diffrens sujets 5cerites dans le courant de 1'anne'e 1767" 1), Integriert
man (3) mit der Bedingung, daB fUr x 0 auci y ==0 werden soil,
so erhiilt man:

y [1 - (1 - 0.11;

(4)

ferner ist:

ds ==dx i/(1 - xfi* = (1 xX)f dx,
-also unter der Bedingung s = 0 fair x - 0:
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(5)

(6)

Aus (4) ergibt sici die Gestalt der Kurve; es ist y = 1
fMr x = 1, dann nimmt y ab fUr
wachsendes und abnehmendes x,
mind es wird y==O fMr x == 0
uid x == 2. FUr x <0 und fUr
-x> 2 ist y imaginiir. Ferner
hat y far jeden Wert von x zwei
gleiche und entgegezigesetzte
Werte, so daB die Kurve die aus
Fig. 32 ersiclitliehe Gestalt AB CD
hat; es ist die seit Leibniz bekaunte reguliire Astrolde 2),
deren Gleichung durci die Transformaation x = 1+ x'; y = y' sich
auf die Form:

'I
N IC

IV

". I

I.

0

P.
Fig. 33.

321'
) YgL.

') Opuecules math6matiques T. IV, p. 66-68 (Paris 1768).
Loria, Spez. Kurven, S. 227.
CANTOR, Geuchichte der Mathematik IV.

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