Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV

auf 3. 4 usw. Kurven veraligemeinert, deren Amplituden bei gleichen
Biigen emn vorgeschriebenes YerhRIltnis haben sollen.
Mit der Rekt ifikati on von Kurven haben sich die Mathematiker
in unserem Zeitraum melirfach besch~iftigt1). Schon frifiher hatte
H e rmann 2) die Aufgabe vorgelegt, die Quadratur einer Kurve auf
eine Rektifikation zuriickzuffihren, die daun von N. Bernoulli'3) und
Euler4) behandelt wurde. Saladini nabm die Frage wieder auf in
seiner Abliandlung:,,Methodus Bernoulliana de reducendis quadraturis
transeendentibus ad longitudinem eurvarum algebraicarum, a quibus
inutilis saepe redditur, imaginariis quantitatibus liberatur atque eiusdem reductionis innumerae aliae viae indigitanturl"). Er gab eiuen
Beweis des B erno ulliischen Satzes, nach welehem. die F1iehe einer
1~urve y f(x) dureli
f dx= 'j —_S
ausgredriickt, wird, wo S den Bogen der Kurve:
(1~y2)/2 y (l Y2)(1
bezeichnet. Urn aber die Einfifihrung der ffir y2 > I vorkommenden
imaginaren Grb~en zu vermeiden, stellt er folg-enden Satz auf:
Man hat:
jydx ~ ftiirdx
weun
y ~~~~y
1st die vorgegebene Kurve algebraisch, so ist es auci die Kurve (1);
es 14-i3t sici also die Quadratur jeder algebraischen Kurve auf die
Rektifikation einer algebraischen Kurve zurfickifflhren. Da aber die
Linie (1) 6fters kompliziert ausfiillt, so schliigt S ala dini eine andere
Methode zur Aufl~sung des Problems vor. Setzt man z. B.
X, Y- + Mx, (2)
wo m konstant ist, wiiirend P, Q Funktionen von y bezeich-nen, so
lautet die Bedingung daftir, daB dS2 - d X2 -H d 4f2 emn vollstiindiges
Quadrat sei:d Q +rndy d dP
Q P
') Fdr den Bericht fiber die im folgenden erwAlinten Arbeiten von Sal adini, d'Alembert, Maseheroni, Gratognini, Contarelli vgl. Fu~note
S. 476. 2)Acta Erud. 1719. 3) Ebenda, 1720. 4) Comment. Acad. Petrop.
T. V. 2)Comment. Bonon. T. V, P. II, p. 120-138 (1767).