Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

llhere ebene Kurven.48

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geho~rt; es fragt sich aber, ob nicht noch andere Kurven diese
dem Kreis zukomimende Eigenschaften baben. Fragen dieser Art
sind in jener Zeit 8ifters behandelt worden; wir werden sp~iter
noch einige bierher geh~rigen Untersuchungen anzufillren haben;
Hier findet Euler aul~er dem. Kreis noch weitere Kurven dureli einen'
Kunstgrriff: er ffigt namlich zu po eine Funktion V hinazu, die
sich nicht iindert, wennT urn cc wichst; V muB dabei einfach
eine Funktion von sin - -~ - und Cos sein. Nimmnt man nun
den einien Endpunkt des Kurvenbogens als Koordinatenanfangspunkt,
seine Normale als x-Achse, so flindet man die Gleichung der gesucbten
Kurve in der Form:
X ~a (1 -Cosq9) +Jsin Fd V; y a sinq;,+fcos fpd
ilieraus folgt fUr den Krflnimungsradius der Ausdruck:
a dYV
Die niihere Untersuchun g zeigt, daB die Kurve aus lauter kongruenten
Stileken von der Linge a besteht.
Die zweite Arbeit (vom 19. August 1776) ist betitelt:,,De duabus.
pluribusve curvis algebraicis, in quibus, si a terminis fixis aequales,
arcus abscindanatur, earurn anmplitudines datam. inter se teneant
rationem" I).
Hier handelt es sich also urn zwei verschiedene Kurven und die
Amplituden gleicher B~geu sollen niclit mnehr gleich sein3, sondern in
einem gegebenen Verh~iltnis stehen. Euler findet ftir die eino
Kurve die folgenden Gleichungen, in weichen cc und (3Konstanten
sind, derart, daB das Verhaitnis der Amplituden == a: 3ist, und in
weichen v einae Funktion von (p bedeutet:
dv. litd'v 1 d2v \
x -- - sinla P - - O c O c
ad cp cc d Tdp
1 dv v. 1(d3v d 2V \
Die Gleichungen der zweiten Kurve ergeben sich hieraus durch Vertauschunig von cc und (3. Sollen die beiden Kurven algebraiseli sein,
so miissen a und ( rationale Zahien und muB v eine algebraische
Funktion von sinq und cos (p seiin. Das Beispiel. v = cos 9p wird.
durchgefUhrt und ergibt Epizykloiden; anulerdern wird die Aufgabe

') N. A. P. VI, p. 63-76.