Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

einige soiche herausfinden. Die Arbeiten, die ganz isoliert steben,
werden dann. eben in chronologischer Reibenfolge aufgeftihrt werden.
Eine erste Gruppe von Abha-ndlungen heschiiftigt sich mit der
Bestimmung von Kurven, deren Bogenlangen irgend einer Bedingung gentigen sollen. Wir fifibren zuniichst zwei Arbeiten von
Euler an, in denen emn beute wenig mehr gebraucliter Begriff eine
Rolle spielt, niimlicb die Amplitude eines Kurvenbogens, eine von
Job. Bernoulli eingeftihfrte Bezeicbnung. Man versteht darunter
den Winkel der beiden Normalen (oder Tangenten) in den Endpunkten
des Bogens. Dieser Winkel ist in den meisten der folgenden Untersuchungen als Parameter eingefifihrt. Nimmt man die eine der beiden
Normalen als x-Achse, so ist, wie man leicht sielit:
dx ~ds -sinc(p; dy ~ds cosc(p.
Diese Darstellung erm6glicht es nun, eine grol~e Klasse von
rektifizierbaren Kurven zu finden. Ist n~imlich v eine beliebige
ds d2V
Funktion von cp, und setzt man - = v +d -2, so ist dainit eine
Kurve bestirnmt, fuir welche sich sowolil die Koordinaten als die
Bogenliinge einfach in v und. T ansdrflcken lassen. Es ergibt sich
niimlich dureli Integration der obigen. Gleichnngeri:
dv.dv
x==-.sinF ---vcosT; Y=d CoSTP+V.5iflp;
dq~~~~~+d
Ist also das Integral,~ dcp ausfiihrbar, so liit sich die Kurve
rektiflzieren, nnd soll sie sonst noch einer Bediugnuig unterworfen sein,
so bandelt es sich nur urn eine geeignete Bestimmung der Funktion v.
Diese oder Thuliche IGberlegungen liegen den meisten Arbeiten
E ulers fiber die Bogenliingen von Kurven zugrunde. Die erste der
beiden E u 1 e r schen Abhandlungen heiBt:,,De arcubus curvarum aeque
amplis earumque comparatione"'). Es bandelt sich bier urn die Aufgabe, Kurven so zu finden, daB die Bogenliingen ibren Amplituden
proportional sind, daB also:
a a
oder
ds a
dcIF c
ist. Es ist klar, daB der Kreis jedenfalls zu den gesucbten Kurven

1) N. C. P. XII (1766/67), p. 17-41.