Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

Der Gedankengang scheint mir etwa folgender zu sein. Ist
y f (x) die Gleichung der Kurve, die das Oval bildet, und ist dasselbe zwischen den Ordinaten eingeschlossen, deren Abszissen a und x
sind; ist ferner F(x) ==f(x) dx, so wird. sowohl f (x) als.F(x) auBerhaib der Grenze cc und zr imaginii'r. Dann muB aber F(x), wenn es
eine algebraisehe Funktion sein. soil, zwischen a und z emn Maximum,
oder Minimum haberi, und. es wird dann F'(x) = f(x) = 0, d. h. das Oval
selineidet die Abszissenachse. Daraus schliel~t nun Waring, wenn ich den
SehluB des obigen Beweises recht verstehe, oline weiteres, daB das Oval
s icli s elIb st schneide. Dabei mllBte aber doch angenommen sein, daB die
Abszissenachse emn Durchmesser des Ovals 1st; das wird aber nirgends
gesagt, ebensowenig wird eine scharfe Definition des,,Ovals" gegeben;
auch was die,,radices datarum, aequationum" sind, ist nicbt recht klar~
namentlich aber scheint mir niclit gentigend berticksichtigt, daB wegen
des Ovals f(x), und damit auch F(x), eine doppeldeutige Funktion
sein mul3, also noch mit einer IrrationalitUi behaftet ist.
Als eine,,proprietas maxime elegans" aller Archimedischen Parabeln,
(d. h. Kurven. mit lauter parallelen Durchmessern) wird folgender
Satz angeftiirt: Ist
yn1 +ayn-I +(b +CX)yn-2 +.=
die Gleichung einer solehen Kurve, so ist derenr Subtangente:
C n-2+
Gibt man T einen konstanten Wert, so gibt es n2 Kurveupunkte, za,
denen dieselbe Subtangente gehb5rt, und fuir alle diese ist die Summe
der Ordinaten konstant.
Ferner:
Ist die Gleichung einer Parabel:
y == ax" + bxII' +.
und sind YI IY,. y2, Y-1 die Ordinaten der Maximal- und. Minimalpunkte, x1, x2,...Xn die Abszissen der Schnaittpunkte mit der x-Achse,
so ist:
Y1 Y2 YS..Yn -l ay
(XI - xt)2... (X1 _ Xn)2 (X2 - X (x2.. A _X,2. (Xn ~ _X)2 nn
Zn diesen u'nd ~ihfnfichen. Untersuchungen bemerkt Waring mit berechtigtem Stolz, daB auch die algebraisehen Siize, die ihnen zugrunde liegen, von ihm selbst gefunden seien. Der letzte Satz zeugt
z. B. von der Kenntnis einer wesentlichen Eigenschaft der Diskriminante.