Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

IHbhere ebene Kurven.47

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Schneidet eine urn einen festen Puinkt rotierende Gerade die
Kurve, so gibt es fair jede Lage einen Punkt so, daB die algebraische
Summe der Abstiinde aller Scbnittpunkte von diesem. verschwindet.
iDer Ort dieser Schuittpunkte ist eine Kurve von h6chistens, n'ein Grad.
Eigenschaften, die nur von den Gliedern,ter und (n - I1)ter Ordnung abhuingeri, Sind ffur zwei Kurven, die in diesen Gliedern f-bereinstimmen, dieselben; also hat z. B. eine Kurve mit ihren Asymptoten
(diese als zerfallende Kurve nter Ordnung betraclitet) alle Durhlimesser
gemein, ebenso alles, was von den Durchmessern abh~ingt, z. B. die
Mittelpunkte (Mittelpunkt heift bei Waring emn Punkt eines Durelimessers von der Art, daB die algebraische Summe der Abstiinde aller
Schnittpunkte dieses Durelimessers von dem Punkt verseliwindet),
ferner die,,curva diarnetralis", die Waring definiert als:,,ocus ultimarum. diarnetroruin intersectionum". Was damit gemeint ist, ist nicht
recht kiar; vielleiclit die Enveloppe der Durelimesser?
You besonderemn Interesse ist das 10. Theorem, welches behauptet,
daB keine algebraisehe Kurve, die eim Oval ohne Doppelpunkt
hat, ailgemein quadriert werden kdnne, oder, wie Waring
sagt:,,Nulla datur algebraica curva, quae habet ovalem sese in dato
puncto haud intersecantenm, quae generaliter quadrari potest". Es ist
dies offenbar derselbe Satz, der bei Newton, Principia I, Lemma 28,
so lautet:,,Nulla extat figura ovalis, cuius, area, rectis pro lubitu
abscissa, possit per aequationes numero terminorum. ac dimensionum
finitas generaliter inveniri", und an den sich eine Kontroverse gekniipft
hat'). Der Beweis bei Waring ist so charakteristisch fUr dessen
pr~dgnante Ausdrucksweise, daB wir ihn hier im, Wortlaut anftihren
wollen:,Inveniatur enim generali s expressio ad aream, e. g. terminis
abscissae x, fiat haec expressio vel area impossibilis, cum x fiat cc vel
7r, et ovalis continetur intra, valores, abscissae ac et z; inveniatur fiuxio
datae expressionis, sed methodus, fiuxiones inveniendi eadem est ac,
methodus inveniendi aequationes, quarum radices sint limites inter
radices cc et zr datarum aequationum; et si radices ac et zr datarum
aequationum, sint possibiles, possibilis etiam. erit radix inter eas posita;
ergo necessario ovalis, se intersecabit".
') Vgl. Brougham (ist der scion S. 456, FuBnote, genannte Mathematiker)
and Routh, Analytical View of Sir Isaac Newtons Principia (1855), p. 73. Dort
wird behauptet, der Satz sei fals~ch, da jede Kurve von der Form:
ym _ X - I)m (a~ -xn
quaclrierbar sei. Zecut hen hat darauf hingewiesen, daiS diese Kurve gar kein
eigentliches Oval darstelit, sondern im Koordinatenursprung einen Selbstberiihru'ngspunkt hat. (Sur quelques critiques faites de nos jours ih Newton; Bulletin
de l'Acade'mie de Copenhague, 1895.)

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