Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

sind Spezialuntersuehungen h-ber einzelne Kurven und Kurveugattungen,
die freilich nmanches, Interessante zutage gebracht haben, aber meist
isoliert, stehen und wenig Zusammenhang miteinander zeigen. Dadurch ist nathrlich die Ubersiclit fiber diesen Zweig der Mathematik
und seine Entwicklung ersehwert; imimerhin lassen sich wenigstens
einigre Gruppen verwandter Untersuchungen zusammenfassen. - Die
Literatur ist meist in Akademieschriften zerstreut; gr~1ere Werke,
die sich speziell mit den ebenen Kurven befassen, sind wenig erschieneni. Zn uennen ist hier hauptsiichlich das scion S. 467 angeftilrte und charakterisierte Buch von Warinig:,,Proprietates algebraicarum eurvarum". IJber das auf die Kegelschnitte beztigliche
vierte Buch ist oben schon bericlitet worden. Hier ist nun der Inhalt der beiden ersten Bijeher in der Kimre anzugeben.
Das 1. B u c enth~ilt ailgemeine Sditze fiber algebraisehe Kurven
beliebiger Ordnung und beginnt, mit einer Definition der D archmesser, von dense~ Waring versehiedene Ordnuugen untersebeidet.
Deren Definition hiRt sici am einfachsten folgendermaBen angeben:
Weun in ei-nem schiefwinkligen Koordinatensystem zu, jeder Abszisse
n -H 1 - i Ordinaten einer Kurve n'ter Orcinung geidren, deren algebraiscie Summe verseiwindet, so heiBt die Abszissenachse emn Durchmesser jtar Ordnung der Kurve. Es werden die analytischen Bedingungen hierftir angegeben; fUr einen Durchmiesser 1. Ordnung muD3
z. B. iin der Kurvengleichungr:
Ay"' +(a +bX) yn-1+(c +dx eX2) yn - 2 0
das 2. Glied mit yfl -' verseiwinden. Daran schlief~en sici Fornieln
fflr Koordinatentransformation; mit Hulfe, derselben wird z. B. untersucht.
ob eine Gerade emn Durchimesser ist, indem sie einfaci als Abszissenachse eingeffihrt wird. Ferner wird die Auazahi der Durchimesser
1. Ordnung bestimmit, die ilire Ordinaten unter einem gegebenen
Winkel a scineiden, und gezeigt, daD diese Zahi h~5chstens ==2 n
sein, fUr cc - 900 aber hcbcstens = n sein kauan. Weitere S~itze, die
sich bier anseblie~en und die der Verfasser als nen. bezeichnet,7 sind:
Ei-ne Kurve, deren Durchmesser alle parallel sind, hat keine
hyperboliscien Aste, au~er wenni die Asymptoten auch alle parallel
sind, und keine, parabolischen, wenn nicht alle nach derselben Richtung konakav oder konvex sind (Theorem 2).
Es gibt nicit mehr~ als- Richtungen paralleler Ordinaten,
weiche die Kurven in (n - mn) Punkten schneiden (Theorem 5).
Es wird aus der Kurvengleiciung ei-ne Beziehung ftir die Abstinude eines Kurvenpunktes von 2, 3, 4 nsw. festen Punkten hergeleitet (Problem 7).