Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Allgerneines. Kegelschnitte.46

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Es sind in diesem. Zusammenhang (Maxima und Minima) noch
einige Abhandlungen von Euler und Ful3 zu. nennen. Die erste
Foil Euler:,,De ellipsi minima dato, parallelogrammo rectangulo circumscribenda" 1) ergibt das Resultat, daI3 die ilalbaclisen der gesuclitein
Ellipse a == f1/'2-; b = g 1/_ sind, wenn f und g die beiden Rechteclssseiten bezeichne-n. Auch fUr die Ellipse von kleinstem. Umfang wird
die entsprechende Aufgabe in Augriff genommen, die natfirlich hier
iiur durch emn Annilherungsverfahren ldsbar ist. Das hier fair ein
Rechteck gelbste Problem hat Euler spiiter auf emn beliebiges Viereck veraligemeinert in einer Arbeit vom. 4. September 1777 2):,,Problema geometricum, quo inter omnes ellipses, quae per data quatuor
puncta traduci possunt, ea quaeritur, quae habet aream minimam" 3).
Die hier gestellte Aufgabe wird in der Weise gelbst, daB zwei Gegenseiten des Vierecks ABOD, AB mid CD als Koordinatenachsen
dienen, und ihr Schnittpunkt 0 als Ainfanagspunkt. Zur Abkiirzuing
wird nun gesetzt: OA == a, OB == b, 00C = c und 019 =- d, und. gezeigt, daB emn Kegelschnaitt:
Ax' + 2.Bxy -F Cy2 + 2Dx + 2Ey + F== 0
durch die vier Ecken des Vierecks gelit, wenn
A ~cd, C== ab, 2D == -cd(a +b); 2E= - ab ( + d); F ==abcd
ist; bierhei ist also B noch willikfrlich und wird als variabler Parameter eingefifihrt, so daB die Flilehe des Kegelschnitts als eine Funktion von B erseheint. Es mag bemerkt werden, daB die etwas um.stiindliche Integration, die zur Berechnung dieser Fliiche fllhrt, in
eleganter Weise durch Benutzung der affinen Verwandtschaft vonl
Kreis und Ellipse bewerkstelligt wird. Der so gewonnene Ausdruck
wird nach B differenziert und liefert als Bedingung ffir den kleinsten
Inhalt folge-nde Gleichung 3. Grades fMr B:
F. B3 - 4DE* ~ 2 + B(3 CD 2+ 3 AE41- ACE) - 2A CDE == 0,
vo, natfirlich fUr die Koeffizienten A, 0, 19, E, F... ilire oben ben* et n - 1 dimensiones in una, mi et rn - 1 dimensiones in altera, et sic deinceps; et exinde: si modo sint duae aliae aequationes n et m dimensionum,
quae involvant quantitates z et v, et sint termini in his respectivis aequationibus,
in quibus inveniuntur dimensiones it et n -1, m et ti - 1 respective, iidern
ac in duabus praedictis aequationibus, turn sunima omnnium valorum quantitatum
x et y eadem erit ac summa omnium valorum qumantitatum z et v".
1) A. P. 1780, TL. II, p. 3-17. 2) In den N. A. P. und M. P. ist das
Datum angegebena, an dem die betreffende Arbeit v o rg eIe gt wurde; hierauf beziehen sich die Angaben mm folgenden. 3)N. A. P. IX, p. 132-146.
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