Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Allgemeines. Kegelsehnitte.47

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ilierher gehdrt eine Reihe von S~itzen, die E dw a rd Wa r i ng') in seinem,
eigenartigen Buch:,,Proprietates algebraicarum curvarum" (Cambridge
1762), nmeist ohne Beweis, angibt. Es ist ein geistreiches, vielseitiges Werk,
durchaus original gedacht, und jedenfalls eine der bedeutendsten Erseheinungen der ganzen Epoche auf diesem Gebiet, leider aber dureli die kuappe
Ausdrucksweise und ilberhaupt dureli die gauze Darstellung nicht
leicht verstiindlich. Das Buch scheint wohi aus diesem. Grunde,den Zeitgenossen, wenigstens auf dem, Kontinent, ziemlich unbekannt
geblieben zu sein; in den zahireichen Abbandlungen unseres Zeitraumes, ebeuso bei Kliige I (Mathematisches Wdrterbuch) kounte ich
es nicht erwiihnt finden2); audi sind die von Waring angegebenen
nenen Gedanken und Gesichtspunkte, soviel ich sehe, nicht weiter
verfolgt worden. - Das Werk ist in 4 Blicher eingeteilt, von denen
hier hauptsaichlich das vierte Buch in Betracht kommt. Das von
W a rin g ausgedachte Prinzip, aus dem. er seine Siitze herleitet, wird
folgendermal~en formuliert:,,quantitates, quae ad singulum. cnrvae
punctume recipiant maximum vel minimum, perpetuo evadunt inter se
aequales". Der Sinn dieses in seiner Ktirze nicht reclit kiaren
$atzes ist etwa folgender: Man kaun die Bedingungen aufstellen,
unter weichen irgend eine GriMe fflr einen Kurvenpunkt einen extremen
Wert annimmt (so ist z. B. fUr einen Punkt P einer beliebigen
Kurve die Summe seiner Entfernungen von zwei festen Punkten F,
und F2 dann emn Minimum, wenn P17, und P172 mit der Kurvenlangente gleiche Winkel bilden). Wenn es nun eine Kurve gibt, wo
diese Bedingung fUr jeden Kurvenpunkt erfillit ist (also in dem, angeLillrten Beispiel die Ellipse), so ist fUr diese Kurve die betreffende
Gr~Be konstant. Dieses Priuzip wird nun z. B. in folgender Weise
benutzt: Es wird bewiesen, daB emn Vieleck, das eillem. geseblossenen,Oval so umbeselirieben ist, daB seine Seiten von den Beriffhrpunkten
halbiert werden, unter alien dem Oval umbeseliriebenen Vielecken
von gleicher Seiteuzahi den kliejsten Inhalt hat. Daraus wird nun
gesehiossen, daB alle soiche Vielecke, die demselben Oval umbeschrieben
find, gleichen Inhalt haben. Ob es aber Uberhaupt mehrere solche
gibt, und wie man sie findet, diese Frage wird gar nicht beriihirt.
Soiche und ihnliche, fUr beliebige Ovale geftihfrte Beweise werden
dcann auf Kegelschnitte angewendet und liefern Saitze wie die folgenden:
Sind einer Ellipse zwei Polygone von gleicher Seitenzabl so urnbeschrieben, daB jede Seite von ihrem. Beriihrpunkt balbiert wird, so
haben sie gleichen Flitcheninhalt (Theorem 19).
Verbindet man die Ecken (oder Berifiripunkte) beider Polygone
')S. 92ff. 2)Dagegen ist bei Chasles, Aperqu historique, p. 163, das
JBuch erw~hnt.
CA1IT, Geschichte der Mathematik IV. 31