Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIV.

und daraus:
CAI: (CA' - CPI?) VS2: (VS2-_HS. GS)
oder:
CAI: CEF - VS': VG2.
Nun ergibt sich aber dureli ihnliche Dreiecke:
VS: VG ==CA: CM;
also nach der letzten Gleichung:
AM= CF.
Ferner ist:
AM: CA =LA: DA,
also, da AM== CE und LA == FA (nach Voraussetzung):
CE: CA EA: DA,
oder auch:
CF:EFA CA: DA.
Daraus folgt aber:
CE: CA = CA: CD.
Darnach ist aber D der Schnittpunkt der Aclise mit der Direktrix
und da s I AD ist, so ist s die Direktrix, q. e. d.
2) ist zu beweisen, daB die Entfermung eines beliebigen
Punktes des Kegelschnitts vom Brennpunkt F gleich deni
Stfick seiner Mantellinie zwischen dem Kreis LO und dem
Punkt ist. Als dieser beliebige Punkt wird der schon vorher definierte Punkt P benutzt, so daB audi C niclit melir der Mittelpunkt,
sondern einfaeh der FuBpunkt des Lotes, von P auif A B ist, was
aber nicht bemerkt wird; es ist also zu beweisen, daB FE == NP.
Zu diesern Zweck wird durch P eine Parallele zu A B gezogen, die
s in E trifft, dainn ist FE = CD. Ferner, da DE Direktrix ist:
FE: PE = AF: AD.
A-Ls dem Proportionallehrsatz folgt:
ML: CD ==LA: DA.
Da FE -CD und LA == AF ist, ergibt sich aus, den beiden letzteni
Proportionen:
ML= PF,
und da ML == PN, so ist:
PEF NP,
q. e. d.