Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Allgemeines. Kegelschnitte.45

45.5

Mechanismus der Rechnungen verglichen wird) ans Ziel ftihfren MUit,,Er kommt vielleiclit friflher ans Ziel, aber er hat weniger gesehena."
- Eine besondere, eingebende und geistvolle Untersuehung hat
KRilgel dieser Frage gewidmet mit einer kleinen Schrift:,,De ratione
quam inter se habent in demonstrationibus mathematicis methodus
synthetica et analytica". Helmstiidt 1767. Es wird darin zuniichst
der Unterschied zwischen synthetiseher und analyfischer Methode
kiar und scharf angegeben, der nicht sowohi darin besteht, oh Koinstruktion oder Rechnung benutzt wird, sondern,,ex interiore veritatum
natura, et ratione quam in eruendis illis et deducendis sequuntur,
petendum est". Als charakteristisch ffir die synthetisehe wird angegeben, daB sie,,dic Quelle der Erfindung verdecke" und die etwas
malitibse Bemerkung beigefiigt, die Synthetiker (die Engliinder, miter
anderen Newton mid Maclaurin werden genannt) tun dies,,,um
aus der Schwicrigkcit der Beweise eine grdlere Beriihmtheit ihres
Geistes zu erlangen"; als weiterer Grund wird indes noch an-gegeben,
daB sie,,diese Methode allein als der Geometric und der Mathematik
tierhaupt wtirdig, und der gr~5ten Strenge fiihig ansehen". Es wird
dann weiter ausgefiflirt, daB bei der synthetischen Methode jeder Satz
fUr sich aufgestellt und bewiesen werde; daher komme es, daf3 die
Geometric manchem,,horrida et sterilis" erseheine, daran schlieft sich
die ganz riclitige Bemerkung, daB die Evidenz der geometrisehen Beweise dazu verleite, diese Methode auf andere Wissensgebiete zn Ubertragen, fair die sic niclit passe. Die synthetische Methode sei auch
zur Entdeckung neuer Wahrheiten weniger gecignet, auBer in den
Hiinden des Genies, was auch Kiistner in der erwiihntcn Vorrede
einmal sagt. Ferner wird hervorgehoben, daB die synthetische Methode
immer nur EinzelfRIile ins Auge fassen und jeden far sich beweisen
mrissc, wiibrend die analytischc Formel euler vollstiindigen Aligemeinheit sich erfreue. Emn Beispiel ftir die Richtigkeit dieses lctzteren
Satzcs bietet die synthetischie Untersuchung der Kegelsehnitte, wo
jede der drei Kurven fUr sich betraclitet wird, wiihrend bei der analytischen Behandlung in der Regel ein Zeichenweclisel geniigt, um
cinen ftir die Ellipse gefundenen Satz auf die Hyperbel zu iibertragen
Demgegeniibcr werden die Vorziige der Analysis entwickelt, wobei
noch cmn Gedanke ausgesprochen wird, den wir nicht unerwiih-nt
lassen wollen, niimlich:,,Wnn uns jemals die Fiihigkeit gegeben
werden kiin-nte, die Wirkung jeder Ursache mit iliren Folgen fuir alle
tibrigen ffur sich zu betrachtcn und mathematisch zu formulieren, so
wiirde die ganzc Natur, soweit sic meBbar ist (,,quanta quanta est"),
in cinem einzigen, aber gewaltigen analytischen Problem bestchcn".
Es ist hier offenbar die Idecc, die der sogenaunten Lap laceschcn