Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXIIII.

kalkills in seinem. groBen Werke,,Magnitudinum exponentialium
logarithrnorum et trigonometriae sublimis theoria nova methodo pertracta". Florenz 1782, 40,1') behandelt. Der Autor hat gehalten, was
er im Titel, seines Werkes versproclien, indem er eine vollstiindige
Theorie der Exponential- und trigonometrisehen GrbiBen entwickelte,
wobei er die entsprechenden Formein M~r Kreis- und Hyperbelfunktionen stets nebeneinander stelite.
Die Reihendarstellungen der ersteren erhielt er von der Reihe
fair zitv ausgehend, wo er zunii'chst dem z einen ganz beliebigen Wert
erteilte und dann z -- e oder == C setzte, wie er die Basis des natiirlichen Logarithmensysterns bezeichnete. Dadurch erhielt er die seit
Euler bekannten Darstellungen des Sinus und Kosinus, durch die
Exponentialfunktion und die Fundamentalformel. e~i == cos x + i sin x,
die ihn fdr sin x =- V, csx= 1-V2 zur Gleichung
xi = log (iv + j/i - VI)
ffiihrte. Indem er dann fair die Wurzel die binomische Reihe einfifihrte
und den Logarithmns durch die bekannte Reihe-neutwicklung ersetzte,
gewann er auch die Reihe fUr arcsin v. Bei Ableitung dieser Reihe, deren
Koeffizi enteng-esetz iibrigens nicht bewiesen wird, findet sich audi
der Versuch, die Kon-vergenz mittels des Quotienten zweier aufeinander folgender allgemeiner Glieder zn bestimmen, ein Beweis daffir,
daB am Ende des 18. Jahrhunderts die Erkenntnis der Notwendigkeit,
die Bahm rein formaler Eutwicklungen zu verlassen, sieh allmdhlich
einstellte.

1) Kap. 5-8.