Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Al,.rxvschnitt XXIII.

tan hatte, nielit erkannt zn. haben, sonst hUitte nicht selbst Euler
noch 1771 seine ziemlich unlfruchtbaren Spekulationen fiber die M~iglielikeit oder Unm~5glichikeit, der Quadratur des Kreises, die er bereits
in der Introduetio 1) an die Lb5sung transzendenter Gleichungen, wie
s == COS s, s = sin 23 susw. angekniipft hatte, wiederholen kbnnen2>Der granze Charakter von L a m b e r t s auf absolute Exaktheit zielen der
Beweisf(ihrUng stehit eben so ganz aul~erhalb der fast nur auf formale Erweiterung der Mathematik hinzielenden Tiitigkeit seiner Zeitgenossen, daB eine Nichtbeachtung derselben wohi verstanden
werden kann.
Haben wir uns mit der Besprechung der Methoden zur BerechunUg der Zahi rr bereits einen. Ibergriff in das Gebiet der Analysis
erlaubt, so miissen. wir auch noch in kurzemn der U~brigen Errungenschaften auf diesem Gebiete gedenken, die mit den trigonometrischen
Funaktionen in Zusammenhang stehen. Wir erinnern uns (1112, S. 716
bis 717), daB Euler schon in der Introductio 1748 und noch frillier
(1743)1) die Summe einer endlichen Zahi von Sinus oder Kosinus,
deren Argumente in arithimetischer Progression fortschreiten, auf niclit
einwandsfreie Weise gewalin, indem, er sich divergenter u-nendlicher
Reihen bediente. Die einfacben und sticlhialtigen Ableitungen, deren
wir uns heute noch bedienen, haben erst Kliigel14), Cagnoli5) und
spiiter wieder Francesco Pezzi6) (t 1813), Ingenieur -imnd Professor
der Mathematik an der Universitiait Genua, gegeben, und Cagnoli
hat auch noch die Summen der n~e Poteuzen der Sinus und Kosinuis
soldier Winkel berechnet, naclidem scion 1748 Gregorio, Fontana
(1735-1803), der Nachifolger B oscoviclis an der Universitiit Pavia
war, eine Ableitung dieser Summen mit Hilfe des Imaginiiren mitgeteilt hatte l). Aber auci diese Gelehrten glaubten noch alle die
Reihen ohne Riicksicht auf Konvergenz oder Divergenz ins Unendliche fortsetzen zn diirfen.
Audi fuir die lIingst bekannten. Formel-n, weldie den Sinus und
den Kosinus granzzabliger Vielfachen eines Winkels dureli die Poteuzen
der Sinus und Kosinus oder einer dieser Funktionen allein ausdrticken,
haben Klflgel8), Cagnoli9) und andere neue Ableitungen gegeben,
1) B, II, Kap. 22. 2) Considerationes cyclometricae. Novi Commrentarii Acad.
Petrop. XVI, p. 160ff. 3' Miscellanea Berolinensia, VII, p. 1'29. 4) Analytische
Trigonometrie 1770, p. 39-43. 'I) Trigonometria, 2. Aufi., p. 117-118.
6) Memorie della Societit Italiana XI, 1803, p. 21ff. 7) Ebenda, II, 1784,
p. 424 ff. ~)Analytische Trigonometrie 1770, p. 46-65. ~)Cose trigonometriche,
Memorie della Societii Italiana, VII, 1794 und. Trigo-nometria, p. 104-108, woselbst fibrigens wieder kritiklos -unendliehe Reihen benutzt werden. In deimselben
Kapitel IX werden auch die umgekehrten Formeln fiir sin x" tnd. eos.x, mittels
des Imagin~ren abgeleitet.