Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Trigonometr. und andere Tafeln. Zykiometrie. Trioonometr. Refihen. 447

O ~~~2.4.-6... 2j3 +1
arcsin xVxx 13 (2p 1)x2s.
jS=O
AuBerdem finden sich in japanischen Sebriften aus jener Zeit auch
Darstellungen der Zahi -r dnrch Nilherungswerte von Kettenbrtichen2 2).
So stamm-t von Y. Arima aus dem Jahre 1766 der auf 12 Stellen
riclitige Niiherniigsbruch 5495 und der auf 30 Stellen zutreffende
428224593349304
Bruch Zr == 1363 f& i17' wihrend G. Karushima ( 1760)
2 98548. 9985 angab.
Versuche, den Charakter der Zahi r zn. ergriindeii, waren
schon von De Lagny (1112, S. 120) gemaclit worden. Derselbe war
bereits 1719 Zn dem wichtigen Satze gelangt 3), den er allerdings,
nicht beweisen konnte, daB, wenn die Taingente eines Bogens
eine rationale Zahl ist, der Bogen selbst irrational sein
m uB, und hatte daraus die Folgerung gezogen, daB die Kreisrektifikatioin
dureli Radius und Tangente geometrisel unm~iglich se i4). Dieser
Satz war es, der Lambert zum. Ausgang seines Beweises far die
lrrationDalitdt von zr im Jabre 1767 diente I), und den er,auBerordenatlich
scharfsinnig -and im wesentlichen einwandfrei" gestaltete 6)
Lamberts, Zeitgenossen scheinen allerdings entweder seine Arbeit
nicht beachtet oder die Bedeutung des Schrittes, den er in der Erkenutnis des Charakters der Zabl x dureli diesen exakten Beweis ge')Auf die hier mitgeteilten Reihen ist von P. H ar ze r:,,Die exakten
Wissenschaften im alten Japan", Rede gehalten zu Kiel am 27. Januar 1905, hingewiesen worden (p. 33-34). Daselbst werden audh die Quellen, aus denen
Harzer geschbpft hat, genau angegeben. 2) Hla r zer, a. a. O., p. 29, Anmerk. 5.
Vgl. auch T. ilayashi, The vahios of zr by the japanese mathematicians of
the 17th and 18th centuries. Bibliotheca math 1902, p. 273-275. 3) Me'moires
de I'Acad. de Paris, 1719, p. 141. 4) Ebenda, 1727, p. 124-125. 5) M&
moire sur quelques proprie't6s remarquables des quantithh transcendentes circulaires et logarithmiques. Lu en 1767. Histoire de l'Acad. de Berlin 1761 (sic!),
p. 265-322, und in popularer Darstellung in den Beitr~gen zum Gebrauche der
Mathematik II, p. 140-169. I5) Man sehe iiber den Wert von Lamberts Beweis: A. Pringsheim,,,tber die ersten Beweise der Irrationalitlit von e und 7c"
Sitzungsberichte der math.-phys. Kiasse der k. bayr. Akad. der Wissensch. 1898,
XXVIII, Heft 2, p. 325-337. Hierzu sei noch bemerkt, daiS Lambert in seiner
Erkenntnis noch weiter ging, indem er in einem Briefe an 11011an d (L amb e rts
deutscher gelehrter Briefwechsel, herausgegeben von J. Bernoulli, I, p. 254)
sagt:,,Die Art, wie ich dies bewviesen habe, lMit sich so weit ausdehnen, daIS
zirkullare und logarithmische Gr~i~en nicht Wurzeln von rationalen Gleichungen
sein kUnneu".