Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Trigonometr. und andere Tafeln. Zykiometrie. Trigonometr. lefihen. 443

n I1 1 41 1
y~aretg - ~ arctg --- + aretg 9 + arctg2.16~ —
lieferte. Auf soiche auch vom analytischen Standpunkt interessanate
Reihen kam er sp~iter (1 762/63) noch einmal zurilek'1), indem er sich
mit ihrer Summation besch~ftigte. Daran ansehijeBend hat dann
Johann Friedri ch Pfaff (1765-1825), Universit~tsprofessor zu
Helmstadt und daunZnuHalle, diese Reibenkategorie voniallgemeinerem
Standpunkt systematisch untersucht 2) und zu den schon von E ule r
summierten Reihen auch noch soiche hinzugefUgt, deren Summe durch
einen Bogen ausgedriickt wird, dessen Tangente transzendente GdifBen
einseblief~t
Eulers Formeln wurden vielfach zur Berechnung von zrbenutzt (vgl.
S.299,300). So hat z.B.Vega das oben a-gefiihrte Resultat aus derEulerschen Formel - 5 arctg -~- -1 2 arctg gewonnen, wozu er noch
zur Kontrolle 2 2arctg~ -1 — arctg,-y nahm, und Karl Buzengeiger (1771-1835), zuerst Magister in Ansbach, dann Professor
der Mathematik in Freiburg im Breisgaii, gab die auf iihnliche Weise
ge-bildete neue Formel:
arctg 515 0 239'
an, die auf sehr rasch konvergente Reihen fifihrt. Ebenso teilte
Cli. Hutton, dem, wir schon wiederholt begegneten, drei iihnliche
Zerlegungen von -~- min) berechnete aber die Teilb6gen niclit mit
der gewiihnlichen Arkustanagensreihe, sondern mit der viel rascher
konvergenten Reihe:
arctg t + +(~~ 2
die er durch Transformation aus ersterer erhielt. E ule r hatte
lirigens diese Reihe schon 1755 in seiner Differentialrecbnunng aufgestelit 5) und teilte sie 1779 der Petersburger Akademie mit, indem
er durch Einfuhbrung derselben in die Formel
')De progressionibus arcuum circularium, quorum tangentes secundum
certain legem procedunt. Novi Comment. Acad. Petrop. IX, 1762/63 (erschienen 1764), p. 40-52. 2) De progressionibus arcuum. circularium. etc.,
wie bei Euler, Nova Acta Acad. Petrop X, 1792 (vorgelegt 1795, erschienen
1797), p. 123-184. ') Kliigel, W~irterbucli I, p. 666. 4) P. T. 1776, p. 476.
Ygl1. fiber die weitere Geschichte dieser Reihe, die wiederholt neu gefunden
wurde, Glaisher in Messenger of Mathematics II, 1873, p. 119ff. 5) Pars II,
Rap. 2, P. 318.